Решение

Рис. 2

Рис.1

Пример 5.

Рис.2

Рис.1

Пример 4.

Рис.2

Пример 3.

Для фигуры, показанной на рис.1 определить положение главных осей инерции и главные моменты инерции.

Решение.

Выписываем основные исходные данные для каждой фигуры

Швеллер

S₁ = 10,9 см² ; I_x = 20,4 см⁴; I_y = 174 см⁴; y₀ = 1,44 см; h = 10 см

Неравнополочный уголок

S₃ = 6,36 см²; I_x = 41,6 см⁴; I_y = 12,7 см⁴; I_min = 7,58 см⁴; = 0,387; x₀ = 1,13 см; y₀ = 2,6 см

Прямоугольник

S₂ = 40 см²

см⁴.

см⁴.

Вычерчиваем сечение в масштабе

Проводим произвольные оси координат

Определяем координаты центра тяжести сечения

см;

см.

Проводим центральные оси

см, см,

см,

см, см,

см.

Определяем осевые моменты инерции относительно центральных осей

Определяем центробежный момент инерции относительно центральных осей

Центробежный момент инерции для угловой прокатной стали относительно ее центра тяжести определяется по одной из следующих формул:

см⁴.

Знак центробежного момента инерции для угловой прокатной стали определяется согласно рис. 2, поэтому I_xy3 = -13,17 см⁴.

Определяем положение главных осей инерции

Определяем главные моменты инерции

Определить координаты центра тяжести сечения (рис.1), составленного из прокатных профилей.

Решение:

Из таблиц сортамента имеем:

для швеллера № 22а: Z_o = 2,46 см; А ₁ = 28,8 см²;

для уголка 100х100х10: Z_o = 2,83 см; А ₂ = 19,2 см².

Совмещаем вспомогательные оси u и v с центральными осями швеллера и выполняем вспомогательные вычисления в табличной форме

Номер вычисления	Координаты, см	Площадь Ai, cм^2	Статические моменты, см^3
ui	vi	uiAi	viAi
	5,29	8,17	28,8 19,2	101,6	156,9

Координаты центра тяжести

см,

см.

Определить положение главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции данного сечения (см. рис.1).

1. Определение моментов инерции относительно центральных осей хСy.

По таблице сортамента имеем:

швеллер № 22: = 2330 cм⁴, = 187 cм⁴, А ₁ = 28,8 см²;

уголок 100х100х10: = 179 cм⁴, А ₂ = 19,2 см²;

центробежный момент инерции уголка относительно = 105 cм⁴.

Учитывая, что центральные оси xy проведены параллельно собственным осям элементов фигуры, для вычисления осевых и центробежного моментов инерции всего сечения воспользуемся формулами, представляя все необходимые вычисления в табличной форме:

Номер элемента	Координаты центра тяжести, см	Площадь Аi, см^4	Моменты инерции площадей, см^4
xi	yi			Ixi			Iyi		xiyiAi	Ixiyi
	-2,	-3,	28,8
	3,	4,	19,2
				3278			688			603

2. Определение главных центральных моментов инерции сечения. По формуле имеем

,

Отсюда I _max = I ₁ = 3412 см⁴, I _min = I ₂ = 555 см⁴.

Ориентация максимальной главной оси определяется по формуле

= (3278-3412)/603 = -0,222,

откуда = -12°30'.

3. Построение эллипса инерции. Главные радиусы инерции равны

см;

см.

Отложив радиусы инерции перпендикулярно к соответствующим осям в том же масштабе, в каком вычерчена фигура, строим на них, как на полуосях, эллипс инерции.

Дата добавления: 2013-12-13