Основные определения. Пустыммножеством называется множество Æ, не содержащее ни одного элемента, т.е

Пустым множеством называется множество Æ, не содержащее ни одного элемента, т.е. для любого элемента x выполняется Æ.

Универсальным называется множество U всех элементов, рассматриваемых в данной задаче.

Пример. Пусть U = Z и требуется найти все решения уравнения . Множество М решений этой задачи есть пустое множество: М = Æ.

Пусть теперь U = R. Тогда множество М решений уравнения не пусто: М = .

Будем говорить, что множество А включается во множество В , если каждый элемент множества А является элементом множества В (говорят также, что А является подмножеством множества В). Из определения включения следуют свойства:

1) для любого множества А;

2) Если и , то ;

3) Æ для любого множества А;

4) U для любого множества А.

Определим понятие равенства множеств: А=В тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и , т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А.

Диаграммы Эйлера – Венна. Эти диаграммы применяются для наглядного изображения множеств и их взаимного расположения.

Универсальное множество U изображается в виде прямоугольника, а произвольные множества – подмножества универсального – в виде кругов (рис. 1.2).

Операции над множествами. Объединением множеств А и В называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.1.3, а).

Пример. Если , то .

Пересечением множеств А и В называется множество , состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В (рис. 1.3, б).

Пример. Если , то .

Разностью множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (рис. 1.4, а).

Пример. ;

.

Дополнением множества А до универсального U называется множество U (рис. 1.4, б).

Пример. Если , U, то U .

Элементы множества сами могут быть множествами: ; в таком случае удобно говорить о системе множеств. Рассмотрим такие системы множеств, как булеан и разбиение множеств.

Булеаном B (Х) множества Х называется множество всех подмножеств множества Х. Например, для множества булеаном является множество B Æ,.

Разбиением R (Х) множества Х называется система его непустых непересекающихся подмножеств, в объединении дающая множество Х (рис.1.5).

Например, для множества можно построить разбиение R₁ , состоящее из двух элементов (они называются блоками разбиения), или разбиение R₂ – из четырех блоков; возможны и другие разбиения этого множества Х.

Дата добавления: 2013-12-13