КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Элементарные функции алгебры логики
Способы задания булевых функций Основными являются следующие способы представления булевых функций: табличный и аналитический. Поскольку область определения состоит из конечного числа элементов (), то булеву функцию можно задать при помощи таблицы истинности (соответствия), в которой для каждого набора значений аргументов указывается значение функции (табл. 1).
Таблица 1. Таблица истинности булевой функции
В качестве примера в таблице 2 задана функция от трех переменных, которая равна 1, нечетное количество переменных равно 1, и 0 – в остальных случаях.
Таблица 2. Пример задания булевой функции
Отметим, что наборы значений аргументов в таблице записывают в естественной форме, то есть -ый по порядку набор представляет собой двоичную запись числа, =0, 1, 2, …,. Обозначим через систему всех булевых функций от переменных. Число всех функций из равно числу перестановок с повторениями значений функции {0, 1} на выборке из входных наборов переменных, то есть. Следует отметить, что числа с ростом быстро растут:
Следовательно, уже при сравнительно небольших значениях () перебор функций из данного множества становится практически невозможен даже с использованием вычислительной техники. Кроме того, с ростом числа аргументов таблица истинности сильно усложняется. Так, например, уже при не очень большом числе аргументов, скажем при =10, таблица становится громоздкой (имеет 1024 строки), а при =20 – практически необозримой. Поэтому используют другие способы задания функции, среди которых основным является аналитический способ, то есть при помощи формул. При этом способе некоторые функции выделяются и называются элементарными, а другие функции строят из элементарных с помощью суперпозиции. Такой способ задания функции хорошо известен в математическом анализе. Например, функция построена суперпозицией многочлена, квадратного корня, косинуса и функции.
Булевы функции одного аргумента представлены в таблице 3. Таблица 3. Булевы функции одного аргумента
Среди этих функций и представляют собой константы,, а называется отрицанием (инверсией, логическое НЕ):
В таблице 4 приведены все 16 функций от двух аргументов.
Таблица 4. Булевы функции от двух аргументов
Рассмотрим более подробно эти функции. Константы: – тождественная ложь, – тождественная истина. Унарные функции (функции одного аргумента). Функции тождественности: или, или. Отрицание (инверсия, логическое НЕ): ,. Бинарные функции (функции двух аргументов). Конъюнкция (логическое умножение, логическое И): ,. Читается “ и ”. Так как эта операция совпадает с операцией умножения в элементарной алгебре, то для конъюнкции используют также обозначение или. Конъюнкция двух высказываний истинна только в том случае, когда истинны оба высказывания. Дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ): . Читается “ или ”. Дизъюнкция двух высказываний ложна только в том случае, когда ложны оба высказывания.
Для конъюнкции и дизъюнкции можно записать ,. Импликация (функция логического следования): (импликация от к). Читается “если, то ”, “ влечет ”, “из следует ”. – условие импликации, а – её заключение. Это важная функция, особенно в математической логике. Её можно рассматривать следующим образом. Из ложного условия можно вывести и истинное и ложное заключение (и это правильно). Если заключение истинно, то его можно вывести как из истинного так и из ложного условия (и это тоже правильно). Импликация ложна только в случае, когда условие истинно, а заключение ложно. Аналогично имеем импликацию от к: . Функция неравнозначности (сумма по модулю 2, исключающее ИЛИ): . Читается “либо, либо ” или “ не эквивалентно ”. Функция эквивалентности (равнозначности, подобия): ,,. Читается “ в том и только том случае, если ”. Стрелка Пирса (функция Вебба, функция Даггера, штрих Лукасевича, антидизъюнкция): . Эта функция является отрицанием дизъюнкции и поэтому ее называют также “НЕ ИЛИ”. Читается “не или ”. Штрих Шеффера (антиконъюнкция): . Эта функция – отрицание конъюнкции и поэтому ее называют также “НЕ И”. Читается “не и ”. Функция запрета (отрицание импликации): . Читается “, но не ”. Аналогично .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 502; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |