Знакоположительные ряды и признаки сходимости

Рассмотренные признаки сходимости рядов не позволяют, как правило, в большинстве случаев решить вопрос о сходимости или расходимости произвольного числового ряда. Однако, для рядов более частного вида удается получить удобные для практического использования признаки сходимости. Рассмотрим знакопостоянные ряды.

Опр. 1

Числовой ряд, у которого все члены одинакового знака, называется знакопостоянным рядом.

(1)

Для ряда (1) последовательность его частичных сумм является возрастающей последовательностью:

(2)

на основании подмеченного свойства можно получить следующие необходимые и достаточные условия сходимости знакоположительного ряда.

Теорема

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Доказательство:

1) Необходимость. Ограниченность частичных сумм является необходимым условием сходимости любого числового ряда (II необходимый признак сходимости ряда)

2) Достаточность. Последовательность частичных сумм знакоположительного ряда (1) согласно (2) является монотонно возрастающей, а по условиям теоремы еще и ограниченной последовательностью. Но такая последовательность на основании достаточного признака Вейерштрасса сходится и имеет предел = , т.е. ряд сходится.

Теорема (признак сравнения)

Пусть даны два ряда (3) (4) Если, начиная с некоторого номера , для всех имеет место , то из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3), при этом сумма ряда (3) не превышает суммы ряда (4), а из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4)

Доказательство:

Обозначим:

- - частичная сумма ряда (3)

- - частичная сумма ряда (4)

1)Пусть ряд (4) сходится, т.е. = ; тогда его частичные суммы ограничены для всех < .

По условию теоремы , , < (т.е. последовательность частичных сумм ряда (3) ограничена, а по теореме такой ряд сходится). Кроме того = < = .

2)Если ряд (3) расходится, то и ряд (4) также расходится.

Допустим, что ряд (4) сходится, тогда и ряд (3) (по 1-ой части теоремы) также сходится, что против условия теоремы.

Пример

Решение:

В качестве сравнения выберем сходящийся ряд ГП .

Т.к. для , то и ряд - тоже сходится.

Теорема (предельный признак сравнения)

Если существует конечный и отличный от 0 предел отношения общих членов ряда (3) и (4) , то эти ряды ведут себя одинаково относительно сходимости.

Доказательство:

Пусть , где . Т.к. , то найдутся такие числа и , что будет иметь место . По определению предела числовой последовательности найдется такой номер , начиная с которого будет выполняться неравенство:

:

Исходя из последнего неравенства и на основании признака сравнения, заключаем, что если ряд сходится, то сходится и ряд и, сходится ряд , а если ряд расходится, то и расходится и ряд .

Пример 2 Исследовать сходимость ряда:

.

Решение:

Здесь . Сравним исследуемый ряд с гармоническим = :

Ответ. Т.к. ряд - расходится, то и ряд - тоже расходится.

Теорема (признак Даламбера)

Пусть для знакоположительного ряда существует такое число , что для всех достаточно больших выполняется: , то ряд сходится , то ряд расходится.

Доказательство:

1) Пусть, начиная с некоторого номера для всех выполняется:

: для Тогда

___ ___ ___ ___

Согласно признаку сравнения сходимость ряда вытекает из сравнения его со сходящимся рядом ГП:

со знаменателем .

2) Пусть для

: , тогда

т.к. последующий член ряда больше предыдущего и 1-ое необходимое условие сходимости ряда не выполнится. Следовательно, ряд расходится.

На практике удобнее использовать следствие из доказанной теоремы.

Следствие (предельный признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует предел отношения: , то при ряд сходится при ряд расходится

Доказательство:

Пусть .

1) Пусть . Тогда можно подобрать число , удовлетворяющее . По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера , будет выполняться неравенство , откуда согласно теореме Даламбера ряд сходится.

2) Пусть , тогда также по определению предела последовательности для всех , начиная с некоторого номера , имеет место . Тогда по теореме Даламбера исходный ряд расходится.

В случае признак Даламбера о сходимости ряда не дает ответа.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь ,

Ответ. Ряд сходится.

Теорема (радикальный признак Коши)

Пусть для знакоположительного ряда существует такое число , что для всех достаточно больших выполняется: , то данный ряд сходится , то данный ряд расходится

Доказательство:

Пусть : . Т.е. для всех члены этого ряда не превосходят членов сходящегося ряда геометрической прогрессии . Т.е. наш ряд сходится.

Если при , то , т.е. необходимые условия сходимости ряда (Теорема I) не выполнены. Ряд расходится.

На практике используют следствие из доказанной теоремы.

Следствие (предельный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует предел и , то ряд сходится ,то ряд расходится

Доказательство:

Пусть . Тогда можно подобрать число , что будет иметь место . По определению предела последовательности

: : на основании предыдущей теоремы, ряд сходится.

Если , то на основании определения предела последовательности : или , что по предыдущей теореме Коши означает, что ряд расходится.

В случае признак Коши не работает.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение:

= = = 0 <1

Ряд сходится.

Теорема Интегральный признак Маклорена – Коши.

Пусть члены знакоположительного ряда являются значениями некоторой непрерывной, положительной и монотонно убывающей на промежутке функции , так что , , ,…,,… тогда исходный ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково относительно сходимости.

Пример 4 Исследовать сходимость гармонического ряда

Решение:

= = = =

Ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-04