Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Составим ряд из абсолютных величин знакопеременного ряда (5)

(6)

и сформулируем понятия условной и абсолютной сходимости числового ряда.

Опр.	Сходящийся числовой ряд (5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (6), составленный из абсолютных величин исходного ряда.

Опр.	Если числовой ряд (5) сходится, а ряд (6) расходится, то ряд (5) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся.

Например, ряд - сходится условно т.к. ряд - расходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать, при этом сумма полученного ряда будет равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Так, если два ряда

сходятся абсолютно, то

=

.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, получая абсолютно сходящийся ряд с суммой, равной сумме исходного ряда.

Так, например, если

= =

и

, , то

Члены абсолютно сходящегося ряда можно представлять произвольно, при этом сумма ряда остается прежней.

Эти свойства рядов не распространяются на ряды, сходящиеся условно.

Теорема Римана.

Если задано некоторое произвольное число , то в условно сходящемся ряде можно так представить члены, что сумма полученного ряда будет равна выбранному числу . Более того, перестановкой членов можно получить расходящийся ряд.

Дата добавления: 2014-01-04