Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тригонометрический ряд




Рассмотрим теперь бесконечную сумму произведений тригонометрических функций с некоторыми постоянными числами, т.е. перейдем в (2) к пределу при .

    Опр. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида где действительные числа - называются коэффициентами этого ряда.

Если тригонометрический ряд сходится на отрезке , в силу переодичности тригонометрических функций, он сходится на всей числовой оси, и его сумма является переодической функцией с периодом :

= (3)

Соотношение (3) можно трактовать также как разложение функции в тригонометрический ряд. В связи с этим напрашивается вопрос, нельзя ли любую переодическую функцию представить в виде ряда простейших гармоник. При этом, очевидно, должны быть решены два вопроса: 1) каким требованиям должна удовлетворять чтобы она была суммой некоторого тригонометрического ряда 2) и как построить такой ряд, т.е. как вычислить значения его коэффициентов. Ответим сначала на второй вопрос.

  Теорема Если функциональный ряд (4) равномерно сходится на , то после умножения каждого его члена на непрерывную и ограниченную на этом отрезке функцию вновь полученный ряд (5) также равномерно сходятся на этом отрезке.

 

Доказательство:

Т.к. - непрерывна и ограничена на , то число , что для всех имеет место оценка . (6)

По критерию Коши равномерной сходимости ряда имеем:

, такой, что для , и :

. (7)

Тогда, использую (6) и (7): , такой, что , и :

=<

< .

Доказанная теорема и лемма об ортогональности тригонометрических функций позволяет построить тригонометрический ряд для заданной функции и доказать его единственность.

  Теорема Если функция является суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда (3), то это разложение единственно, причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам: (8)

Доказательство:

Пусть тригонометрический ряд (3) сходится на и его сумма равна , причем функция интегрируема на этом отрезке. Тогда на основании свойства функциональных рядов, этот ряд можно проинтегрировать по , в результате чего получим:

===

Умножив ряд (3) на непрерывную и ограниченную функцию , получим ряд

= ,

который, согласно предыдущей теореме, также равномерно сходится на . Проинтегрируем этот ряд по .

==

=.

Т.е. .

Аналогично получаем, что .

Необходимое условие разложения функции в тригонометрический ряд является существование интегралов (8).

Опр. Тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (8), называется рядом Фурье, а его коэффициенты – коэффициентами Фурье.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 676; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.