Разложение функций в ряды Фурье

Теперь установим условия, при выполнении которых функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда. Прежде, чем ответить на поставленный вопрос, введем понятия:

Опр.	Функция называется удовлетворяющей на условиям Дирихле, если выполняются требования: 1) она непрерывна на этом отрезке, либо имеет конечное число точек разрыва 1-го рода. 2) эта функция монотонна на рассматриваемом отрезке, либо имеет на нем конечное число экстремумов.

Теперь без доказательства сформулируем фундаментальную в теории тригонометрических рядов теорему, устанавливающую достаточные условия разложения функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле

Если переодическая функция на отвечает условиям Дирихле то: 1) ряд Фурье для этой функции сходится равномерно на всей оси . 2) сумма ряда Фурье равна функции во всех точках непрерывности этой функции. 3) в точках разрыва 1-го рода функции сумма ряда Фурье равна полу сумме левого и правого пределов функций в этих точках, т.е. .

Отметим, что теорема Дирихле устанавливает лишь достаточные, но не необходимые условия разложения функции в ряда Фурье. Это означает, что существуют такие функции, которые не удовлетворяют условиям Дирихле, но могут быть разложены в ряды Фурье.

Дата добавления: 2014-01-04