Частные производные высших порядков

Частные производные функции в свою очередь являются функциями, и поэтому можно рассматривать их частные производные. Например, у функции могут существовать частные производные ,

.

Производные называются частными производными второго порядка. Аналогично определяются производные более высоких порядков.

Оказывается, что при достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.

Теорема

Если функция определена вместе со своими частными производными , , и в некоторой окрестности точки и производные и непрерывны в этой точке, то .

Из этой теоремы в случае непрерывности соответствующих частных производных следует независимость результата дифференцирования от порядка переменных, по которым проводится дифференцирование, для функции любого числа переменных и для частных производных любого порядка.

Пример.

Решение:

,

, .

Дата добавления: 2014-01-04