Знакопеременные ряды

Приведённые выше достаточные признаки сходимости рядов относились к рядам с положительными членами. Аналогичными свойствами обладают также ряды с отрицательными членами.

Рассмотрим ряды, часть членов которых положительна, часть членов отрицательна или равна нулю. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

♦ Теорема 30.4. Если для знакопеременного ряда

(30.14)

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

, (30.15)

то данный ряд (30.14) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

, (30.16)

Так как и ряд в силу сходимости (30.15) сходится, то по признаку сравнения рядов (30.16) тоже сходится. Ряд (30.14) представляет собой разность двух сходящихся рядов и, следовательно, сходится. ■

☼ Замечание 30.3. Обратное утверждение неверно. Именно, если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, не обязательно сходится, этот ряд может и расходиться. ☼

Дата добавления: 2014-01-04