КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Лекция 30. Подкорковая теория сна Р.Гесса. В середине 20 столетия Р.Гесс в гипоталамической области промежу-точного мозга нервные центры, раздражение которых вызывала сон у кошек. Р.Гесс предположил, что в этой области находится «центр сна». Эта гипотеза в дальнейшем получила дополнительное экспериментальное подтверждение. Однако, ни одна из вышеназванных теорий в отдельности не может объяснить все проявления сна. Поэтому современная теория учитывает все перечисленные взгляды и рассматривает сон, как системное явление, в происхождении которого играют важную роль как нервные, так и гуморальные механизмы. При этом в возникновении сна принимают различные уровни центральной нервной системы: ретикулярная формация ствола мозга, «центр сна» промежуточного мозга, кора больших полушарий.
Предположим, что f(x) – нечётная 2- периодическая функция. В этом случае f(x)cos(nx) – чётная функция, поскольку f(-x)cos(-nx)=f(x)cos(nx), a f(x)sin(nx) – нечётная функция, так как f(-x)sin(-nx)= - f(x)sin(nx). Поэтому коэффициент ряда Фурье , равны:
(n=0,1,…),
(n=1,2,…).
Следовательно, ряд Фурье чётной функции содержит только косинусы, т.е.
.
Аналогично, если f(x) – нечётная функция, то f(x)cos(nx) – нечётная, а f(x)sin(nx) – чётная функция. Поэтому (n=0,1,…),
(n=1,2,…).
Следовательно, ряд Фурье нечётной функции содержит только синусы, т.е.
.
Пример 30.1. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2функцию, заданную на отрезке равенством f(x)=½х½. Данная функция является чётной (Рис.28.1), поэтому её ряд Фурье содержит только косинусы. Вычисляем коэффициенты этого ряда:
Следовательно, .
Рис.30.1.
Разложение функций в ряд Фурье на отрезке [0,π]
Пусть f(x) определена на отрезке . Для того, чтобы функцию f(x) разложить в ряд Фурье на этом отрезке, доопределим эту функцию произвольным образом на отрезке . Таким образом, получаем функцию, которая уже определена на отрезке .
Рассмотрим два случая: 1) Функцию f(x), заданную на , продолжим на отрезок так, чтобы вновь
полученная функция f1(x) была чётной:
2) В таком случае говорят, что f(x) продолжена на чётным образом
Рис.30.2.
Поскольку f1(x) – чётная на функция, то её ряд Фурье содержит только косинусы:
Поскольку на отрезке имеет место равенство f1(x) = f(x), то ряд Фурье для функции f1(x) будет и рядом Фурье для f(x) на Рис.30.3.
Функцию f(x), заданную на , продолжим на отрезок нечётным образом (Рис.28.3): Поскольку f2(x) – нечётная на функция, то её ряд Фурье содержит только синусы: Так как f2(x)= f(x) при то полученный ряд Фурье для f2(x) и будет рядом Фурье для f(x) на .
Пример 30.2. Функцию f(x)=x, определённую на отрезке , разложить в ряд Фурье: 1)по косинусам; 2)по синусам. 1) Функцию f(x) продолжим на чётным образом (рис.28.4.) – составим новую функцию f1(x) по формуле Рис.30.4 Вычисляем коэффициенты Фурье для этой функции: ;
Итак, ,
1) Функцию f(x) продолжим на нечётным образом составим новую функцию по формуле .
Вычислим коэффициенты Фурье для этой функции:
Итак, .
Ряд Фурье для функций с периодом 2ℓ
Пусть f(x) – периодичная с периодом функция, которая на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Разложим её на этом отрезке в ряд Фурье.
Обозначим . Тогда
Функция - уже - периодическая функция, так как . Функцию разложим в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам: …, Возвращаясь к прежней переменной х, из равенства имеем . Тогда ряд
можно представить в виде
В интегралах и
произведём замену переменной: n=0,1,…
Аналогично, n=1,2,…
Если f(x) – чётная на функция, то bn=0 (n=1,2,…) n=0,1,… Ряд Фурье такой функции имеет вид: Если f(x) – нечётная на функция, то an=0 (n=0,1,2,…), n=1,2,…, а сам ряд Фурье имеет вид:
Пример 30.3. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом Т=2 функцию f(x), заданную формулой
Эта функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.
Вычисляем коэффициенты Фурье:
Подставляем эти значения коэффициентов в формулу
и получаем ряд Фурье для данной Функции:
Сумма этого ряда в точках x=±1,±3,… равна .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1026; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |