Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие интеграла Фурье




 

Предположим, что функция f(x) является кусочно-гладкой и периодической с периодом , кроме того, определим

 

Тогда периодическая функция f(х) является непрерывной и имеет непрерывную производную на всей числовой оси, за исключением, может быть, конечного числа точек на отрезке . Кроме того, в этих точках существуют конечные пределы и слева и справа. Множество обладающих такими свойствами функций обозначим через L1.

Каждую можно представить рядом Фурье

 

 

коэффициенты которого определяются по формулам:

 

,

, .

 

Исследуя ряд Фурье, мы доказали, что ряд Фурье функции сходится к f(x).

Предположим, что функция f является непериодической кусочно-гладкой на любом конечном отрезке вещественной числовой оси и абсолютно интегрируема на ней.

Множество кусочно-гладких на вещественной оси функций обозначим через L1 . Кроме того, как и в случае периодических функций, определим .

Выражение интеграла Фурье получим из ряда Фурье периодической функции .

Для этого в ряд подставим выражения коэффициентов , и .

Имеем: .

 

 

Вводим обозначения: .

 

Тогда

 

Пусть (функция f из периодической становится не периодической).

 

Очевидно, что ,

 

Второе слагаемое из выражения с

 

учётом обозначения приводим к виду

 

.

 

 

В таком виде эта сумма напоминает интегральную сумму функции Ф () на отрезке .

Перейдя к пределу , получаем

 

Это выражение назовём двойным интегралом Фурье для непериодической функции

Замечание. Интегральная сумма отличается от классической интегральной суммы тем, что в этой интегральной сумме значения меняются с изменением Поэтому предельный переход требует соответствующего обоснования. Однако этого теоретического вопроса касаться не будем.

 

Пример 30.4.

Представить функцию

интегралом Фурье.

Очевидно, что эта функция

 

Поэтому

 

Так как f(0)=1, то .

Итак, используя интеграл Фурье, получили интересный результат. Напомним, что первообразная функция не может быть выражена в конечном виде.

 

Выражение называется разрывным множителем Дирихле.

 

Преобразуем интеграл Фурье следующим образом:

 

 

Обозначим:

 

Тогда .

 

В таком виде интеграл Фурье похож на ряд Фурье. Суммирование по дискретному параметру заменено интегрированием по непрерывно меняющемуся параметру . Коэффициенты и аналогичны коэффициентам и .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 304; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.