Пример 4

Найти поток вектора через внешнюю сторону кругового косинуса, вершина которого находится в начале координат, радиус основания равен и высота равна (ось конуса направлена по оси ).

Решение:

Обозначим: - боковая поверхность косинуса

- основания конуса

Тогда .

Для боковой поверхности конуса вектор - радиус- вектор точки перпендикулярен вектору нормали . Следовательно, скалярное произведение и .

Вычислим поток через основание конуса. Для любой точки основания и вектор .За вектор т можно взять единичный орт .

Тогда . И поток

В результате имеем .

Дивергенция векторного поля. Вычисление потока через замкнутую поверхность.

Дано векторное поле . Найдем численную характеристику источника или стока поля в любой его точки . Окружим точку произвольной гладкой поверхностью вычислим поток поля через :

.

Разделим величину потока на объем тела , ограниченного поверхностью :

Получим среднюю плоскость источников и стоков, находящихся внутри поверхности . Перейдем к пределу при условии, сто диаметр области стремится к так, что поверхность стягивается в точке :

Данный предел, если существует, называется дивергенцией или расходимостью поля в точке

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина, характеризующая плотность источника (стока) в точке .

Теорема:

Если проекции вектора непрерывны вместе со своими частными производными , то дивергенция поля существует и равна:

.

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция равна 0, называется соленоидальным. В данном поле нет ни источников, ни стоков. Векторные линии могут быть или замкнутыми, или уходить в бесконечность.

Дата добавления: 2014-01-04