Поверхностный интеграл второго рода

Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответ-ствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную ориентацию). Разобьем поверхность S на части S₁, S₂,…, S_п, выберем в каждой части S_i точку M_i(x_i, y_i, z_i), и умножим f(M_i) на площадь D_i проекции части S_i на плоскость О ху. При этом будем считать, проекция части верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой поверхности имеет знак «+», а нижней – знак «-». Составим сумму

. (27.7)

Определение. Если существует конечный предел суммы (27.7) при ρ→0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называет-ся поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной сто-роне поверхности S и обозначается

(27.8)

Замечание. В этой символической записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плос-кости О xz и О yz (при условии, что уравнение поверхности можно представить в виде y = y(x, z) или x = x(y, z)). Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

и . (27.9)

Рассмотрев сумму интегралов вида (27.8) и (27.9) по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

(27.10)

Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:

При замене рассматриваемой стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак: (27.11) Справедливость этого утверждения следует из определения 27.10.

Дата добавления: 2014-01-04