Оператор Гамильтона

Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):

grad u =

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение. Оператор

(28/1.10)

называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s

(«набла»).

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» s на скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции: s u = grad u; (28/1.11)

2) составив скалярное произведение s на вектор A = { A_x, A_y, A_z }, получим дивергенцию вектора A:

s· A = ; (28/1.12)

3) перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:

s´ А = (28/1.13)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и s u = grad u:

s· (s u) = div (grad u) = =

Определение. Оператор

Δ = s · s = s ² = (28/1.14)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).

Определение. Уравнение

(28/1.15)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.

Дата добавления: 2014-01-04