КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка
ЛЕКЦИЯ 36 п.1.Уравнения в полных дифференциалах (тотальные) Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
(36.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: Таким образом, для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; 2) как найти эту функцию.
Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
Т.е. . Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х: Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство : Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию , т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию . Продифференцируем полученное равенство по у. Откуда получаем: Для нахождения функции необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако перед интегрированием надо доказать, что функция не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю. Теперь определяем функцию С(у): Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Пример 36.1. Решить уравнение
Проверим условие тотальности: Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Определим функцию u. ; Итого, Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
п.2.Уравнения вида и Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции. (36.2)
Для уравнения первого типа получаем: Делая замену, получаем: В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
(36.3)
Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме. Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:
(36.4)
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 417; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |