Особые точки и особые решения

Для дифференциального уравнения

(32.15)

или записанного в форме (32.10), могут существовать точки, через которые проходит более одной или не проходит ни одной интегральной кривой. Такие точки называются особыми. Они могут быть изолированными или заполнять целые линии, которые также называются особыми.

Пусть , где p(x,y) и q(x,y) - непрерывные функции, тогда уравнение (32.15) примет вид

(32.16)

Если существует точка , где и , то в ней, очевидно, уравнение (32.16) уже не связывает между собой дифференциалы dx и dy вследствие чего особые точки уравнение не включает (не описывает). Для нахождения особых точек используется условие равенства нулю функций p(x,y) и q(x,y) одновременно.

Существуют четыре типа особых точек: 1) узел; 2) седло; 3) центр; 4) фокус. В первом и четвертом случаях через особую точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых, во втором - две, в третьем - ни одной.

Пример 1. Уравнение имеет общее решение . Особая точка (узел) - начало координат (рис. 32.1, a).

Пример 2. Уравнение имеет общее решение . Особая точка (седло) - начало координат (рис. 32.1, б).

Пример 3. Уравнение имеет общий интеграл . Особая точка (центр) - начало координат (рис. 32.1, в).

Пример 4. Уравнение имеет общее решение в полярных координатах . Особая точка (фокус) - начало координат (рис. 32.1, г).

Особая линия уравнения (32.15) - это огибающая семейства его интегральных кривых, т.е. кривая, которая в каждой своей точке касается какой-либо одной линии семейства, описываемого в общем случае неявной функцией

(32.17)

Для нахождения уравнения огибающей рассмотрим некоторую ее точку M(x,y), одновременно принадлежащую и некоторой кривой семейства (32.17). Последней соответствует определенное значение параметра С, которое при данных x и y определяется из (32.17), т.е. C=C(x,y). Отсюда для всех точек огибающей выполняется равенство

(32.18)

Из уравнения (32.18) найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке M(x,y), для чего продифференцируем (32.18) по x, считая, что y=y(x):

Угловой коэффициент касательной к кривой семейства (32.17) найдем из равенства

Так как он равен угловому коэффициенту огибающей, то, решая два предыдущих равенства совместно, находим

Но на огибающей , поэтому

Таким образом, для определения огибающей служат два уравнения

(32.19)

Пример 5. Найти особое решение уравнения

Разделяя переменные и интегрируя, находим общий интеграл уравнения *** - семейство окружностей радауса R с центрами на оси абсцисс.

Используя (32.19), находим, что огибающими кривых этого семейства будут прямые

у= ± R. Функции у= ± R удовлетворяют данному уравнению, следовательно, являются его особыми интегралами.

Рис. 32.1

Дата добавления: 2014-01-04