Доказательство. Введём в рассмотрение новую независимую переменную t, положив , , , и вместо прира

Введём в рассмотрение новую независимую переменную t, положив , , , и вместо приращения рассмотрим приращение вспомогательной функции , так как оба приращения равны. является функцией от одной переменной и имеет непрерывную производную. Таким образом,

, . (38.3)

При этом дифференциал , входящий в различных степенях справа, равен .

Так как при линейной замене переменных свойство инвариантности формы имеет место и для высших дифференциалов, можем записать, что

,

,

…,

.

Важно отметить, что здесь дифференциалы и ничем не отличаются от ранее взятых приращений и : , . Подставим это в (38.3) и придём к требуемому разложению (38.2). ■

☼ Замечание 38.1. Хотя в дифференциальной форме формула Тейлора для функции нескольких переменных имеет такой же вид, как и для случая функции одной переменной, в развёрнутом виде она гораздо сложнее. Вот как выглядят её первые три члена для функции двух переменных:

. ☼

Дата добавления: 2014-01-04