Почти-вырожденные матрицы

АНАЛИЗ ОШИБОК

Основная цель анализа ошибок состоит в оценке || X - X* ||, где X - истинное решение, а X* – вычисленное решение. К сожалению, практические оценки || X - X* || получить очень трудно, а в большинстве случаев невозможно. Перечислим возможные вопросы при анализе влияния ошибок и неопределенных данных на ответ задачи.

1. Какова максимальная ошибка, которая может иметь место?

2. Какие ошибки на самом деле были?

3. Каких ошибок следует ожидать?

4. Насколько задача чувствительна к ошибкам?

5. Насколько близка фактически решенная задача к решаемой задаче?

Общий эффект ошибок обычно учитывают изучением воздействия ошибок входных данных, метода и округлений на получаемый результат X* и пытаются оценить некоторую меру близости X* к истинному решению X. Такой метод исследования называют прямым анализом ошибок. Особенно трудным является прямой анализ вычислительной погрешности. Отсюда следует вывод, что первые четыре вопроса либо не имеют ответов, либо ответы на них дают мало информации о действительной величине ошибки [1, 3, 5].

На пятый вопрос может быть дан удовлетворительный ответ с помощью обратного анализа ошибок. Согласно этому анализу, приближенное решение какой-либо задачи, например системы линейных уравнений, является точным решением некоторой близкой задачи, в нашем примере системы линейных уравнений с немного измененными коэффициентами. Вместо того чтобы оценивать отличие приближенного решения от точного, можно оценить отличие коэффициентов исходной и измененной системы. Обратный анализ ошибок округления реализуется намного проще, чем прямой.

Пример 38.6.

Пусть коэффициенты системы линейных уравнений получены в результате физических измерений и известны с некоторой ошибкой. Если обратный анализ показывает, что влияние ошибок округления равносильно искажению коэффициентов, не превосходящему ошибок измерения, то можно считать, что вычисления проводятся с достаточной точностью. При этом не следует интересоваться отличием вычисленного решения от точного решения системы, которая сама определена недостаточно точно.

Возмущение коэффициентов системы линейных уравнений может не просто немного исказить ее решение, а иметь более серьезные последствия. Например, система линейных уравнений

x + 0,99y = 1,01,

x + 1,01y = 0,99

имеет единственное решение, но за счет изменения коэффициентов и свободных членов на 1% можно получить как противоречивую систему, так и систему, имеющую бесконечно много решений.

В приведенном примере детерминант матрицы системы мал по сравнению с ее коэффициентами. Однако можно привести пример матрицы, детерминант которой не мал, но обращается в нуль при малом возмущении элементов матрицы. Рассмотрим диагональную матрицу пятого порядка, у которой все элементы на диагонали равны 10, кроме последнего, равного 10- 4. Детерминант такой матрицы равен 1, но может обратиться в 0 изменением одного элемента на 10- 4. Следует отметить, что такая матрица является плохо обусловленной и ее число обусловленности m равно 104.

Сейчас важно подчеркнуть принципиальную сторону этого явления. Если числа не могут быть заданы точно, то стирается четкая грань между вырожденными и невырожденными матрицами. Появляется класс почти-вырожденных матриц, границы которого зависят от принятой меры точности в конкретном исследовании. В пределах заданной точности можно получить как вырожденную, так и невырожденную матрицу, изменяя ее элементы.

Дата добавления: 2014-01-04