Смешанное произведение векторов

Выражение векторного произведения в декартовых координатах.

2).

Свойства векторного произведения

Векторное произведение векторов

Лекция № 3 (продолжение)

Тема: Векторное и смешанное произведения.

Векторным произведением называется вектор, который:

1) имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах:.

2) вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма, т.е..

3) Перемножаемые вектора и вектор, т.е. векторы образуют в указанном порядке правую тройку.

1).. Пусть. Тогда:

Пусть. Тогда

Пусть. Тогда:.

Следствие:.

Доказательство:

Пусть и пусть векторы и не коллинеарны, т.к. если они коллинеарны, то их векторное произведение равно 0.

Имеем: и, т.е.. Векторы и коллинеарны (), тогда они перпендикулярны одной и той же плоскости. Тогда либо либо:. Первое не возможно, т.к. тройки векторов: и не могут одновременно быть правыми.

3). (без доказательства)

4). (без доказательства)

Пусть имеются два вектора, заданные своими координатами в пространстве:, тогда:

, где

;

Доказательство:

Заметим, что:.

Далее, используя свойства векторного произведения, получим:

Пример 3: Зная две стороны треугольника ABC:. Вычислить длину его высоты CD.

Решение:

CD–есть высота параллелограмма. Тогда, имеем:, другой стороны:

.

Вычисляя:.

Если результат векторного произведения двух векторов умножить скалярно на третий вектор, то такое произведение носит название смешанного произведения:

Теорема 2: (геометрический смысл смешанного произведения) Смешанное произведение численно равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на смежных рёбрах, взятому со знаком «+», если перемножаемые векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если эта тройка левая.

Если же векторы компланарные, то их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство:

1) Если векторы –коллинеарны (хотя бы пара из них), то.

2) Если эти векторы – компланарные, и - не коллинеарные, то вектор:,,, т.е..

3) Пусть векторы – не компланарные и образуют правую тройку.

,

Т.к..

Если векторы образуют левую тройку, то векторы и противоположно направлены и тогда:

Следствие 1: Объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах, как на смежных рёбрах, равен модулю смешанного произведения этих трёх векторов:

Следствие 2: Три вектора компланарны их смешанное произведение равно нулю:

=0; Если три вектора некомпланарны.

Утверждение: Справедливо равенство: (*)

Доказательство:

В силу коммутативности скалярного произведения, имеем:.

Левая и правая части (*) есть объём параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах. Рассмотрим ориентацию троек: если тройка –правая, то – тоже правая. Также анализ для левых троек.

Дата добавления: 2014-01-04