Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Теорема 39.7. Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд, составленный из членов данного ряда, взятых, возможно, в другом порядке, тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство. Рассмотрим ряд , составленный из членов ряда . Так как ряд сходится, можно найти номер N такой, что | sN – s | < . Выберем теперь номер М такой, что частичная сумма содержала все слагаемые, входящие в сумму sN. Тогда для любого m > M частичную сумму можно представить в виде:

.

Тогда в будут входить только слагаемые с номерами, большими N, поэтому

.

Тогда при т > M получаем:

Следовательно, , то есть ряд сходится, и сумма его равна s.

Проводя подобные рассуждения для ряда , можно доказать и абсолютную сходимость ряда .

 

Теорема 39.8 (без доказательства). Если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений umvn членов этих рядов, тоже абсолютно сходится, и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

 

Замечание. Указанные свойства справедливы только для абсолютно сходящихся рядов. Если ряд сходится условно, то перестановкой его членов можно изменять сумму ряда (теорема Римана) или получить расходящийся ряд. В частности, расходящимися в этом случае будут ряды, составленные из всех положительных и из всех отрицательных членов данного условно сходящегося ряда.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Признак Лейбница | Крестьянский вопрос
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 500; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.