Однородном проводящем полупространстве

Рассмотрим вопрос о распространении плоской электромагнитной волны в однородной проводящей среде, простирающейся теоретически в бесконечность (рисунок 3).

Рисунок 3

Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в проводящую среду и распространяется в ней. Так как среда простирается теоретически в бесконечность и падающая волна в толще проводящей среды не встречает границы, которая «возмутила» бы ее распространение, то отраженная волна в данном случае не возникает.

При наличии только одной падающей волны и . Постоянную интегрирования найдем из граничных условий. Если обозначить напряженность магнитного поля на поверхности проводящей среды через , то при . Поэтому с учетом (8)

. (14)

В свою очередь

. (15)

Чтобы записать выражения для мгновенных значений H и Е, необходимо правые части (14) и (15) умножить на и взять мнимые части от получившихся произведений. Тогда получим:

(16)

и

. (17)

Проанализируем эти выражения. Амплитуда ; амплитуда . С увеличением z множитель уменьшается по показательному закону. Следовательно, по мере проникновения электромагнитной волны в проводящую среду амплитуды Е и H уменьшаются по показательному закону. На рисунке 4 изображены огибающие амплитуд H, построенные на основе . Мгновенное значение Е и H определяется аргументом синуса, который в выражении (16), например, зависит от z и . Если принять , то на графике мгновенных значений H в функции от z будет получена кривая 1 (см. рисунок 4) при и кривая 2 при .

Для того чтобы охарактеризовать, насколько быстро уменьшается амплитуда падающей волны по мере проникновения волны в проводящую среду, вводят понятие «глубина проникновения».

Рисунок 4

ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ И ДЛИНА ВОЛНЫ

Под глубиной проникновения понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или H) уменьшается в е = 2,71 раз. Глубину проникновения определяют с помощью выражения . Отсюда следует, что или

. (18)

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (γ и ) и частоты ω. Так, если электромагнитная волна имеет частоту f = 5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой и , то

.

Глубина проникновения , т. е. на расстоянии в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,71 раза.

Под длиной волны λ в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором фаза колебания изменяется на 2π. Длину волны определяют из уравнения :

. (19)

Для рассмотренного числового примера

.

Познакомимся с понятием фазовой скорости распространения электромагнитной волны в проводящей среде.

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание имело одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением .

Производная от постоянной есть нуль, поэтому , или

; ; . (20)

Для рассмотренного числового примера .

МАГНИТНЫЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ

В качестве примера распространения плоских электромагнитных волн в проводящей среде рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока .

Лист (рисунок 5) имеет толщину 2а, высоту h () и большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сечению листа .

Рисунок 5

Задача состоит в определении законов изменения и по сечению листа.

В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхности листа та же, что и на его правой поверхности. Обозначим ее через и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через ).

Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении
пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна.

Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рисунком 5. Примем, как и прежде, . Общее решение для таково:

.

Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При , т. е. для точек, находящихся на левой стороне листа,

; (21)

при

. (22)

Совместное решение (21) и (22) относительно и дает

.

Следовательно, в произвольной точке

. (23)

Напряженность электрического поля

,

где

. (24)

При напряженность направлена вверх (вдоль оси ); при – вниз (вдоль оси , рисунок 5,а). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).

Как известно, ток, возникающий при прохождении по листу переменного магнитного потока, принято называть вихревым.

Вектор плотности вихревого тока в любой точке листа коллинеарен с вектором в этой же точке. Магнитная индукция в произвольной точке

. (25)

Среднее значение магнитной индукции в листе

. (26)

Если считать известной и равной , то из (26) можно найти напряженность поля на поверхности листа:

. (27)

Заметим, что аргумент является комплексом и есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента; он также является комплексом:

. (28)

Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа к напряженности поля на поверхности листа называют комплексной магнитной проницаемостью:

.

Она зависит от величины , частоты и толщины листа. При больших значениях аргумента имеем , значения этих функций намного больше 1. Поэтому при больших значениях

и комплексная магнитная проницаемость .

Напряженность поля в средней плоскости листа (при ) . Отношение напряженности поля на краю листа (при ) к напряженности поля в средней плоскости листа:

. (29)

Левая и правая части формулы (29) являются комплексами. Модуль показывает, во сколько раз модуль больше модуля . Найдем модуль . С этой целью запишем два сопряженных комплекса:

и

.

Произведение сопряженных комплексов дает квадрат модуля. Следовательно,

.

Таким образом

. (30)

Таким образом, напряженность поля в средней плоскости листа может быть во много меньше напряженности поля на краю листа.

Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее распространении в проводящую среду, называют поверхностным эффектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверхностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то – электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же, а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о том, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.

На рисунке 5,б построены две кривые. Кривая Н(z) характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции z. В средней плоскости листа H до нуля не снижается, так как . Кривая H строится по уравнению (23). Кривая Е(z) характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z. Эта кривая строится по (24); и потому кривая проходит через нуль при . Кривая плотности вихревых токов качественно повторяет кривую Е от z (разница только в масштабе).

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ В

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ШИНЕ. ЭФФЕКТ БЛИЗОСТИ

При электрическом поверхностном эффекте (рисунок 6,а) вдоль пластины (шины) направлен синусоидальный ток частотой ω. В этом случае поле внутри пластины определяется по формулам:

; ; .

Модуль определим по формуле

.

Сопротивление единицы длины шины (пластины)

.

В этом случае зависимость модуля Н(z) такая же, как и Е(z) рисунок 5,б, а зависимость Е(z) такая же, как и Н(z) на этом же рисунке.

Рисунок 6

Если по двум параллельным близко расположенным плоским шинам (рисунок 6, б) будет протекать в противоположных направлениях синусоидально изменяющийся во времени ток частотой ω, а размеры и , то, поместив начало декартовой системы координат в средней плоскости левой шины и учтя, что слева от левой шины напряженность поля Н = 0, а в пространстве между шинами (в этом можно убедиться на основании закона полного тока), получим формулы для и в левой шине:

; .

Эпюры модулей Н и Е в функции от координаты z показаны на рисунке 6,б. Поле одной шины влияет на распределение поля в другой шине. Это явление называют эффектом близости. Комплексное сопротивление единицы длины двух плоских шин, расположенных в воздухе, равно двум комплексным сопротивлениям самих шин плюс индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами:

.

Напомним, что р и – комплексные числа.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРОВОДЕ

Рисунок 7

По цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток частотой ω. Требуется вывести формулы для определения плотности тока и напряженности в любой точке сечения провода. Полагаем обратный провод на столько далеко удаленным от прямого, что влияние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать. Решение проведем в цилиндрической системе координат (рисунок 7). Плотность тока направлена по оси z, поэтому . Воспользуемся уравнениями (1) и (2), предварительно умножив последнее на γ. Получим

; (31)

; (32)

или

,

т.е.

.

Учтем, что . Поэтому .

Раскроем в цилиндрической системе координат и учтем, что от и от z не зависит. Получим

,

или

.

Обозначим

. (33)

Тогда

или

. (34)

Уравнение (34) является частным случаем уравнения Бесселя при p = 0. Роль x выполняет , а роль у – δ.

Как известно из курса математики, решение уравнения (34) можно записать следующим образом:

, (35)

где и – постоянные интегрирования; – функция Бесселя нулевого порядка первого рода; – функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Функция обладает той особенностью, что при (т.е. на оси провода при ) она обращается в бесконечность. Но из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое в решении отбрасываем (принимаем ). Следовательно,

. (36)

В соответствии с уравнением (32) и формулой (33)

;

т.е.

, (37)

где – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования . С этой целью по закону полного тока найдем на поверхности провода (при ) и приравняем его значению , которое получается из формулы (37):

; . (38)

Подставив найденное значение в формулы (23.35) и (23.36), получим

; (39)

. (40)

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока и комплекс напряженности поля в любой точке сечения провода.

Радиус r может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси провода ; для точек на поверхности . Так как (см. таблицу 1), то на оси провода плотность тока

. (41)

Сопоставление (41) с (39) дает

. (42)

Из формулы (42) следует, что на поверхности провода плотность тока

. (43)

Из предыдущего известно, что произведение есть комплексное число:

. (44)

Бесселевы функции и от комплексного аргумента тоже являются комплексами и могут быть представлены в показательной форме:

; (45)

, (46)

где – модуль, а – аргумент функции ; – модуль, а – аргумент функции ; , , , (и выражены в градусах) определяют по значению с помощью таблицы 1. При ее составлении наличие множителя в составе аргумента уже учтено.

Таблица 1 – Таблица модулей и аргументов функций и

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ УМОВА-ПОЙНТИНГА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АКТИВНОГО И ВНУТРЕННЕГО ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ

ПРОВОДНИКОВ ПРИ ПРЕМЕНОМ ТОКЕ

Активное и внутреннее индуктивное сопротивления проводников при переменном токе часто определяют с помощью теоремы Умова-Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине 1м и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику; получают комплексное сопротивление проводника на единицу длины.

Действительно,

и

.

В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивления цилиндрического провода (см. рисунок 7) на длине 1м:

;

;

.

ЭКРАНИРОВАНИЕ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Протекающие в любых электрических цепях токи создают в окружающем пространстве магнитные поля, которые воздействуют на различные элементы приборов и цепей, ухудшая работу устройства, а иногда и вовсе нарушая ее.

Для устранения нежелательных воздействий магнитных полей применяют экранирование электромагнитных устройств. Оно осуществляется с помощью экранов, представляющих собой сплошную или сетчатую металлическую оболочку, в которой помещено электромагнитное устройство.

Существует следующие виды экранирования:

1) электростатическое экранирование основано на компенсации внешнего поля полем зарядов, выявившихся на стенках экрана вследствие электростатической индукции. Толщина стенок экрана при электростатическом экранировании, в отличие от экранирования в магнитном и электромагнитным полях, может быть сколько угодно малой;

2) экранирование в магнитном поле постоянного тока основано, грубо говоря, на том, что силовые линии магнитного поля преимущественно проходят по участкам с меньшим магнитным сопротивлением (по стенкам экрана);

3) экранирование в переменном электромагнитном поле основано на том, что электромагнитная волна, проникающая в стенки экрана, быстро затухает, расходуя энергию на покрытие потерь, обусловленных вихревыми токами в стенках экрана.

Электромагнитные экраны представляют собой полые цилиндрические, сферические или прямоугольные оболочки, внутри которых помещается экранируемое устройство (например, катушка индуктивности, измерительный прибор и т.п.).

Экран выполняет две функции. Во-первых, он защищает устройство, заключенное в экран, от влияния внешнего по отношению к экрану электромагнитного поля. Во-вторых, он защищает внешнее по отношению к экрану пространство от электромагнитного поля, создаваемое устройством, заключенным в экран.

Поскольку на расстоянии, равном длине волны в металле, электромагнитная волна почти полностью затухает, то для хорошей экранировки толщина стенки экрана должна быть примерно равна длине волны в металле. Практически приходится учитывать и другие факторы (механическую прочность экрана, его стоимость и т.д.).

Существует два метода экранирования от магнитных полей: с помощью оболочек из ферромагнитных материалов и с использованием экранов из немагнитных материалов. Первый способ применяется на практике для экранирования от постоянных магнитных полей и полей низкой частоты. Второй способ дает хорошие результаты при экранировании от полей высокой частоты. Математическое решение задачи экрана довольно сложно довести до конечного инженерного результата. Поэтому на практике обычно пользуются экспериментальными данными и упрощениями, рассматривая экран как вторичную замкнутую цепь.

Рассмотрим более подробно второй способ экранирования, применяющийся на практике при высоких частотах.

Пусть в переменном магнитном поле расположено металлическое кольцо (рисунок 8). Суммарный магнитный поток, охватываемый кольцом, равен

или в комплексной форме . Этот поток состоит из – потока от внешних причин и – потока от вихревых токов в кольце

.

Рисунок 8

ЭДС, индуцируемая в кольце:

. (47)

Ток, протекающий через кольцо, будет равен:

, (48)

где R – активное сопротивление кольца.

Решая совместные уравнения (47) и (48), найдем

. (49)

Из уравнения (49) видно, что чем больше «добротность» , тем сильнее будет ослабление магнитного поля внутри кольца. Причем степень ослабления резко возрастает с ростом угловой частоты , индуктивности L и с уменьшением ее сопротивления R.

На рисунке 9 приведена кривая зависимость отношения от добротности катушки .

Рисунок 9 – Кривая зависимости от добротности .

На рисунке 9 видно, что ослабление магнитного потока внутри катушки с увеличением ее добротности увеличивается довольно сильно. Если использовать лист, в котором создаются вихревые токи, то его можно представить себе, как короткозамкнутый контур. Внешнее магнитное поле при этом вытесняется, т.е. лист становится экраном (см. рисунок 10).

Рисунок 10

Рассмотрим механизм использования вихревых токов в экранах из немагнитного материала. При высоких частотах вихревые токи будут течь в металле только в поверхностном слое. Закон изменения их по мере проникновения в толщу экрана выражается уравнением:

, (50)

где х – расстояние от поверхности металла;

– плотность тока на глубине;

– плотность тока на поверхности листа;

b – эквивалентная глубина проникновения, на которой плотность тока

уменьшается в е раз (е = 2,718282).

Величина b определяется из выражения:

, (51)

где f – частота;

m – магнитная проницаемость;

g – удельная проводимость.

Следовательно, если окружить какой-либо объем экраном, толщина которого в 3…5 раз превышает глубину проникновения b, то этот объем будет надежно экранирован от электромагнитного поля.

Для технической меди см, для алюминия см. Отсюда видно, что экранирование от электромагнитных полей с помощью вихревых токов целесообразно применять только при высоких частотах. Так, например, при частоте 500 кГц величина b=0,1 мм. Следовательно, достаточно иметь экран толщиной 0,3…0,5 мм. При низких частотах более целесообразны экраны из ферромагнитных материалов (сталь и т.д.). Для них даже при частоте 30 Гц глубина проникновения токов составляет доли миллиметра.

Следует отметить, что экранирование при помощи вихревых токов изменяет параметры экранируемой цепи и вызывает потери энергии. Экран увеличивает эквивалентное сопротивление катушек и уменьшает их индуктивность. Добротность катушек при этом падает.

Экранирование магнитных полей исследуется на схеме, изображенной на рисунке 11 и 12. Источником поля на рисунке 4 является катушка А, а катушка Б является измерительной (и соединяется с вольтметром), экран сферический.

По схеме рисунка 12 исследуется экранирование с помощью вихревых токов. При этом в качестве экранов использованы кольца с одинаковым средним радиусом, но различным сечением.

Э – сферический экран

Рисунок 11

К – проводящее кольцо

Рисунок 12

СОПОСТАВЛЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ЭКРАНИРОВАНИЯ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ, МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Электростатическое экранирование основано на компенсации внешнего поля полем зарядов, выявившихся на стенках экрана из проводящего материала вследствие электростатической индукции. Толщина стенок экрана при электростатическом экранировании в отличие от экранирования в магнитном и электромагнитном полях может быть сколь угодно малой.

Экранирование в магнитном поле постоянного тока основано на том, что силовые линии магнитного поля преимущественно проходят по участкам с меньшим магнитным сопротивлением (по стенкам экрана).

Экранирование в переменном электромагнитном поле основано, главным образом, на том, что электромагнитная волна, проникающая в стенки экрана, быстро затухает, расходуя энергию на покрытие потерь, обусловленных вихревыми токами в стенках экрана.

Если экран выполнен из ферромагнитного материала и частота ω относительно низкая, то экранирование достигается не только за счет затухания волны в стенке экрана, но и за счет стремления силовых линий магнитного поля пройти по участкам с меньшим магнитным сопротивлением.

ВЫСОКОЧАСТОТНЫЙ НАГРЕВ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ И

НЕСОВЕРШЕННЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

Нагрев металлических деталей перед ковкой и штамповкой, сушку древесины, наплавку и реставрацию инструментов часто производят путем помещения этих предметов (деталей) в электромагнитное поле сравнительно невысокой частоты (1...20 кГц). Стальные изделия (например, валы, шестеренки) нередко подвергают поверхностной закалке, помещая их в электромагнитное поле более высокой частоты (порядка 10...500 кГц).

Энергия, выделяющаяся в виде тепла в проводящем теле, равна . Электромагнитная волна, проникая в толщу металла, быстро затухает. Поэтому теплота выделяется практически лишь в относительно тонком поверхностном слое стального изделия.

Под действием теплоты, выделившейся в поверхностном слое, последний быстро разогревается до температуры, необходимой для поверхностной закалки. Высокочастотные поля используют также для нагрева несовершенных диэлектриков (проводимость их хотя и мала, но не равна нулю). Так, область еще более высоких частот (1...30 МГц) используется для высокочастотного нагрева пластмасс перед штамповкой, для термической обработки пищевых продуктов, вулканизации резины и других целей.

Дата добавления: 2014-01-04