Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций

В 1-м семестре рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться проведенными в 1-м семестре вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение области сходимости полученных рядов.

1. . Сходимость полученного ряда исследовалась в примере 2, где показано, что он абсолютно сходится при любом х.

2. .

3. .

Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тейлора на всем множестве действительных чисел.

4. . Запишем остаточный член этой формулы в форме Лагранжа: , и исследуем его поведение при для | x| < 1, | x | > 1 и | x | = 1. При | x| < 1 , при | x | > 1 . Поэтому по теореме 41.5 при | x| < 1 ряд сходится, а при | x | > 1 расходится. При х = -1 ряд расходится, так как представляет собой гармонический ряд, все члены которого имеют знак «-», а при х = 1 получаем знакопеременный ряд, сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (-1, 1].

5. . Найдем радиус его сходимости по формуле Даламбера:

Следовательно, интервал сходимости – (-1, 1).

Дата добавления: 2014-01-04