Определение 45.4. Выражение называется главным значением логарифма

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

Других точек разветвления, кроме и , функция не имеет. Заметим, что если описывает замкнутую кривую вокруг начала координат, то точка описывает незамкнутую дугу, соединяющую точки и двух соседних областей одно­листности функции . Сколько бы оборотов вокруг начала коор­динат ни делала точка (в одном и том же направлении), соответ­ствующая дуга, описываемая точкой , никогда не замкнётся (с каждым оборотом ордината точки увеличивается или уменьшается на . Если, же точка , описывает замкнутую кривую, не заклю­чающую внутри точки , то точка , также описывает замкнутую кривую.

Обратимся, наконец, к функции . Прежде всего из уравнения . Решая это уравнение относительно, получим: и далее . Так как произведение выра­жений равно ,то . Счи­тая, что аргументы не превосходят : по абсолютной величине, мы получаем лишь две возможности: и , откуда следует, что оба аргумента либо неотрица­тельны, либо неположительные и что, по крайней мере, один из них не больше по абсолютной величине. Обозначая через то из чи­сел аргумент, которого не больше , получаем для другого

значение , в соответствии с чем , откуда , либо .

Эти формулы можно объединить в одну: .

При наших обозначениях значение попадает внутрь области Рис.45.1.в. (или на границу её при ). Остальные точки располагаются по одной в областях , так что точки в сосед­них областях симметричны относительно точек .

Можно проверить, подобно тому как это было сделано выше, что для функции точками разветвления будут точки . В самом деле, при обходе по какой-либо замкнутой кривой, заключающей внутри одну из точек -1 и +1 и не заключающей другой, выражение изменит знак (для.него каждая из точек -1 и +1 является точкой разветвления и притом первого порядка). Но это означает, что корень квадратного урав­нения перейдёт, в и наоборот и, следовательно, перейдёт в , что соответствует переходу, от перво­начальной точки к точке, симметричной ей относительно соответ­ствующей точки . Если же описывает замкнутую кривую, заключающую внутри обе точки -1 и +1, что можно рассматривать как обход вокруг одной лишь точки , то аргумент выражения изменится на , вследствие чего изменится на , что соответствует сдвигу точки в направлении действительной оси на расстояние .

Дата добавления: 2014-01-04