Виды симметричных периодических функций

Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметричные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рассмотрим такие функции.

Функция, симметричная относительно оси абсцисс.

Функция, удовлетворяющая условию

f(ωt)=-f(ωt+π)

(4)

называется симметричной относительно оси абсцисс. Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т!2, и зеркального отражения относительно оси Х получается изображение отрицательной полуволны.

Рисунок3. Функция симметричная оси абсцисс.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоянной составляющей А₀ и высших гармоник четного порядка, а только нечетные гармоники. Следовательно ряд Фурье такой функции имеет вид:

(5)

Функция симметричная относительно оси ординат.

Функция удовлетворяющая условию f(ωt)=f(-ωt) называется симметричной относительно оси ординат.

Функция симметричная оси ординат, при разложении в ряд Фурье не содержит синусов, а только косинусы и постоянную составляющую.

(6)

Рисунок4. Функция симметричная относительно оси ординат.

Функция симметричная относительно начала координат.

Функция у которой точка нуля функции совпадает с началом координат и удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt) называется симметричной относительно начала координат. При разложении в ряд Фурье не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом:

(7)

Рисунок 5. Функция симметричная относительно начала координат.

Функция симметричная относительно оси абсцисс и начала координат.

Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении в ряд Фурье в нем отсутствуют нулевая и четные гармоники, а для функции симметричной относительно начала координат отсутствуют и косинусы. Следовательно при разложении в ряд Фурье эта функция будет иметь вид:

(8)

Рисунок6. Функция симметричная относительно оси абсцисс и начала координат.

Дата добавления: 2014-01-04