Модуль КЗН-02. ПР.О.11.04 Похідна та аналітичність функції комплексної змінної

Дисципліна: «Теорія функцій комплексної змінної»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової циклової комісії

комісії інформаційних технологій Велікодна О. В.

та прикладної математики.

протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІV

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші – Рімана. Поняття та властивості аналітичних функцій.

Мета:

· Дидактична:

· Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

· Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Физматлит, 2001.

2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003.

3. Мантуров О. В. Курс высшей математики: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1991.

Між предметні зв’язки:

· Дисципліни, що забезпечують: математичний аналіз.

· Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія систем та керування.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

a) відсутні;

b) підготовка до заняття;

c) перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

· Тема лекції: Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші – Рімана. Поняття та властивості аналітичних функцій.

· Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні важливі поняття та факти теорії функцій комплексної змінної, навчити використовувати надбані знання при розв’язанні прикладних задач.

· План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 6.

1. Визначення похідної функції комплексної змінної. Умови Коші – Рімана.

2. Властивості аналітичних функцій.

Конспект лекції № 6.

Тема: Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші – Рімана. Поняття та властивості аналітичних функцій.

Нехай функція комплексної змінної z, визначена в точці й в деякім її околі. Околом точки називається внутрішність деякого круга на комплексній площині з центром у вказаній точці, тобто множина , .

Визначення. Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається диференційованою у цій точці, якщо існує скінченна границя

,

яку називають похідною від функції в точці .

Основні теореми про диференційованість функцій в комплексній площині формулюються та діють однаково з такими ж твердженнями в дійсній площині.

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2. Якщо функції задані в околі точки z С, а в самій точці zмають скінчені похідні, то функції , а у випадку, коли і функції також мають в точці zскінчені похідні. При цьому мають місце формули:

Теорема 3. Якщо функція ω = ƒ(z) неперервна та строго монотонна в околі Ů(z) та має в точці zпохідну ≠ 0, то зворотна функція має похідну в точці та .

Теорема 4. Якщо функція ω = ƒ(z) має в точці zпохідну , а функція має похідну в точці , то складна функція у = F(z) = g(ƒ(z)) також має в точці zпохідну, причому .

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

Таблиця похідних основних елементарних функцій в комплексній площині співпадає з аналогічними функціями дійсної площини. Приведемо деякі похідні.

Але, умови, за якими функція КЗ є диференційованою повністю відмінні від тих умов, що ставляться для функцій ДЗ.

Дата добавления: 2014-01-04