Признак сравнения

Достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Теорема 48. Пусть даны два знакоположительных ряда
Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда вытекает расходимость второго ряда.

Доказательство. Пусть . Предположим, что ряд
сходится и его сумма равна . Тогда

Так как члены первого ряда положительны, то , монотонно возрастает и ограничена сверху числом . По признаку существования предела, последовательность

т.е. первый ряд сходится.

Пусть теперь ряд
расходится. Так как члены ряда неотрицательны, то
имеем

Примечание. Теорема справедлива и когда неравенство выполняется не для всех членов рядов, а начиная с некоторого номера . Это вытекает из свойства 3) числовых рядов.

Теорема 49. (Предельный признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных ряда
Если существует отличный от нуля, предел
то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела последовательности, начиная с некоторого выполняется неравенство
или

или

или

Если ряд
сходится, то из левого неравенствавытекает, что ряд
так же сходится. По свойству 1) числовых рядов, ряд
так же сходится.

Если ряд
расходится, то из правого неравенстваи теоремы 48 вытекает, что и ряд
так же расходится. Аналогично вытекает сходимость(расходимость) первого ряда из сходимости (расходимости) второго ряда.

Дата добавления: 2014-01-04