Перетворення координат вектора при перетворенні базису

Якщо вектор х розкладемо по елементам базису виду (5)

x = x₁e₁+x₂e₂+ … +x_ne_n

(e₁ … e_n) – базис (x₁, x₂, … x_n)

При зміні матрицею В одержимо новий базис:

В: (e₁’, e₂’, … e_n’) Відносно якого вектор х має нові координати (х₁’, x₂’, … x_n’).

Тобто можна записати:

e₁ e₁’

x = (x₁, x₂, … x_n) e₂ , або х = (х₁’, x₂’, … x_n’) e₂’ в новому базисі.

e₃ e₃’

Пов’язуючи попередні формули маємо:

x₁’ x₁

x₂’ = (B^-1)^т · x₂ (6)

x_n’ x_n

Якщо матриця В ортогональна, то виконується умова В^-1 = В^т і рівність набуває виду (7)

x₁’ x₁

x₂’ = (B) · x₂

x_n’ x_n

Приклад. Дано вектор х(1, -2)

-1 3

В =

-2 1

Знайти координати вектора x під дією матриці В.

1) 1 -3 1 -3

В^-1 = · = ·

-(-2) -1 2 -1

2) 1 2

(В^-1)т = ·

-3 -1

3) За формулою (6)

x₁’ 1 2 1 1 -4 -3 -

= = = =

x₂’ -3 -1 -2 -3 2 -1 -

Дата добавления: 2014-01-04