Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Асимптоты графика функции

Условия существования

Точка перегиба.

Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка

 

Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

 

Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

 

.

График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкой перегиба функции, если производная функция непрерывна в этой точке и является границей двух различных интервалов выпуклости (вверх и вниз).

В этом случае точка является точкой перегиба графика

функции, то есть график функции в точке «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при — над графиком (или наоборот)

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки, имеет в точку перегиба, то.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и, и при, а, то функция имеет в точку перегиба.

Алгоритм нахождение точки перегиба:

1. Находим

2. Находим первую производную

3. Находим вторую производную

4. Найдем точки в которых вторая производная равно нулю

5. проверяем знак в полученных интервалах

6. Результаты исследования занесем в таблицу.

 

Таким образом, точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой. Для определения точек перегиба находят вторую производную.

В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует.
- если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз.
- если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.

Пример 2.: — кривая Гаусса.

1)

2) при — точки, подозрительные на перегиб.

Получаем интервалы выпуклости, вогнутости:

3) заполняем таблицу.

По результатам исследования можно построить график

 

 

 

Определение: Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные(если к=0 горизонтальное).

Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х 0 – 0) или f (х 0 + 0) равен бесконечности.

Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х 0, где х 0 – точки, в которых функция не определена.

Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f (х) = kx + b + α(х),, то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.

Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

 

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда. Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Машины для правки профилей в двух плоскостях и правки косым изгибом | Гипотиреоз. Эндемический зоб
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 853; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.