Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків

При розв’язуванні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків, ці рівняння зводяться до систем рівнянь першого порядку. Для знаходження розв’язку такої системи можна використовувати будь-які з розглянутих вище чисельних методів.

Розглянемо даний підхід на прикладі задачі Коші для звичайного диференціального рівняння другого порядку:

, (6)

, . (7)

Введемо заміну . Тоді замість задачі (6)-(7) для диференціального рівняння другого порядку отримаємо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь першого порядку:

(8)

з початковими умовами

(9)

Тепер для розв’язування задачі Коші (8)-(9) на проміжку можна використовувати, наприклад, методи, розглянуті в попередньому пункті.

Метод Ейлера:

(10)

.

Тут , , , , .

Тоді розв’язком задачі (6)-(7) будуть значення , знайдені в результаті застосування формул (10).

Метод Рунге-Куттачетвертого порядку:

(11)

де

, , , .

(12)

Треба зазначити, що розроблені також й інші спеціальні методи, призначені для розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

Дата добавления: 2014-01-04