Механічна енергія системи частинок

Тема: Поняття поля. Механічна енергія частинки в полі.

Лекція №7.

Дослід показує, що у випадку гравітаційних взаємодій сила, що діє на частинку зі сторони навколишніх тіл, пропорційна масі частинки. Такий вид взаємодії можна трактувати наступним чином: тіла, що оточують частинку, створюють поле, що діє на частинку з деякою силою.

Поле – вид матерії, за допомогою якої здійснюється силова взаємодія тіл. Для характеристики поля вводять напруженість і потенціал.

Напруженістю гравітаційного поля називається векторна фізична величина, що дорівнює силі, з якою поле діє на тіло одиничної маси в даній точці поля:

.

З огляду на математичний запис закону всесвітнього тяжіння, одержимо формулу для визначення напруженості поля точкової маси М:

Якщо поле створюється багатьма джерелами, то результуюча напруженість визначається за принципом суперпозиції: вона дорівнює векторній сумі напруженостей усіх полів у даній точці: .

Потенціалом гравітаційного поля в даній точці називається скалярна фізична величина, яка дорівнює потенціальної енергії, яку має тіло одиничної маси в даній точці поля:

.

Якщо поле створюється багатьма тілами, то результуючий потенціал дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів усіх джерел: .

Визначимо потенціал поля точкової маси М. Нехай точка масою m переміщається уздовж радіус–вектора від точки, у якій зосереджена маса М. Формула, що зв'язує силу з потенціальною енергією в даному випадку, має вигляд: . Після відповідних замін одержуємо:

, або .

Проінтегрувавши ліву частину останньої рівності, одержуємо:

.

Таким чином, формула потенціалу поля тіла точкової маси має вигляд:

.

Одержимо рівняння, що зв'язує напруженість гравітаційного поля і потенціал. Формула, що зв'язує силу і потенційну енергію має вигляд:

Розділивши ліву і праву частини останньої формули на масу точки, одержуємо:

або .

Висновок: Напруженість гравітаційного поля дорівнює узятому зі знаком мінус градієнту потенціалу поля на заданій ділянці.

Кінетична енергія. Теорема про кінетичну енергію.

Нехай частинка масою m рухається під дією деяких сил із прискоренням . Визначимо роботу рівнодіючої сили по переміщенню точки. За визначенням механічної роботи . Оскільки і , то після підстановки одержуємо:

.

Але , де (dv)_v – проекція вектора на напрямок . Ця проекція дорівнює збільшенню модуля вектора швидкості dv. У підсумку одержуємо:

.

Повна робота сили при збільшенні швидкості точки від v₁ до v₂ дорівнює:

.

Як видно з останньої формули, робота рівнодіючої сили дорівнює збільшенню деякої величини, яка називається кінетичною енергією.

Кінетичною енергією називається фізична величина, яка дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат її швидкості:

Теорема про кінетичну енергію: Робота рівнодіючих сил дорівнює зміні кінетичної енергії:

.

Повна механічна енергія частинки.

Згідно теореми про кінетичну енергію . Якщо частинка знаходиться в потенціальному полі, то всі сили, що діють на її, можна розбити на консервативні і сторонні сили, що не мають відношення до даного поля. Таким чином, зміна кінетичної енергії дорівнює:

.

Але робота консервативних сил дорівнює збитку потенціальної енергії:

.

Після відповідних підстановок одержуємо:

, и .

Суму кінетичної і потенціальної енергії називають повною механічною енергією частинки в полі: . Після заміни одержуємо: .

Висновок: Збільшення повної механічної енергії частинки на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі роботи всіх сторонніх сил, що діють на точку на цьому шляху.

Власна потенціальна енергія системи частинок.

Розглянемо систему з двох частинок 1 і 2. Визначимо алгебраїчну суму елементарних робіт сил F₁ і F₂, з якими ці частинки взаємодіють. Нехай у довільній К'– системі відліку за час dt частинки зробили переміщення і . Тоді відповідна сума робіт цих сил:

.

Враховуючи, що за третім законом Ньютона , перепишемо попереднє рівняння: .

Величина, що стоїть у дужках, являє собою переміщення частинки 1 відносно частинки 2, точніше, переміщення частинки 1 у K'– системі відліку, жорстко зв'язаною з частинкою 2 і яка переміщується разом з нею поступально щодо початкової К – системи відліку. За законом додавання переміщень і .

З отриманої формули випливає, що алгебраїчна сума елементарних робіт пари сил взаємодії в довільної K'– системі відліку дорівнює елементарній роботі, яку виконує сила, що діє на одну частинку у системі відліку, де інша частинка знаходиться в стані спокою. Інакше кажучи, робота не залежить від вибору початкової К– системи відліку.

Сила , що діє на частинку 1 з боку частинки 2, є центральною, а значить і консервативною. Тому робота даної сили по переміщенню може бути представлена як збиток потенційної енергії частинки 1 у поле частинки 2 або як збиток потенціальної енергії взаємодії розглянутої пари частинок: , де U₁₂ – функція, що залежить тільки від відстані між цими частинками. При кінцевому переміщенні .

Якщо система складається з N частинок, то робота, яку виконують усі сили взаємодії при переміщенні всіх частинок, може бути представлена як алгебраїчна сума робіт усіх пар сил взаємодій: А =А₁₂ + А₂₃ + А₁₃+.... Але для кожної пари цих сил A_іk = – U_іk, тому

,

де U_вл – власна потенціальна енергія системи частинок:

.

Оскільки кожен доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними частинками, то очевидно, що власна потенціальна енергія даної системи залежить від відносного розташування частинок, тобто від конфігурації системи. Кожної конфігурації системи частинок властиве своє значення власної потенціальної енергії і робота усіх внутрішніх центральних консервативних сил при зміні цієї конфігурації дорівнює збитку власної потенціальної енергії системи: .

Кінетична енергія системи.

Відповідно до теореми про кінетичну енергію, збільшення кінетичної енергії кожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що діють на частинку. Тому роботу А, яку виконують усі сили, що діють на всі частинки системи при зміні її стану, можна записати так: або , де К – сумарна кінетична енергія системи.

Висновок: збільшення кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку виконують усі сили, що діють на всі частинки системи: .

Власна механічна енергія системи частинок.

Власна механічна енергія системи частинок дорівнює алгебраїчній сумі кінетичних і власної потенційної енергій системи:

.

Розділимо всі сили, що діють у системі, на зовнішні і внутрішні, а внутрішні на консервативні і диссипативні, Тоді теорему про кінетичну енергію можна переписати таким чином:

.

З огляду на те, що робота внутрішніх консервативних сил дорівнює збитку власної потенціальної енергії системи, останнє рівняння можна переписати у вигляді: .

Висновок: Збільшення власної механічної енергії системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт усіх зовнішніх сил і усіх внутрішніх диссипативних сил.

Дата добавления: 2014-01-04