Основна теорема алгебри, розклад многочлена на множники

Займаючись коренями многочленів, ми не ставили питання, чи будь-який многочлен має корені? Відомо, що існують многочлени з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів; – один з таких многочленів. Можна було б чекати, що існують многочлени, які не мають коренів навіть серед комплексних чисел, особливо, якщо розглядаються многочлени з будь-якими комплексними коефіцієнтами. Якщо б це було так, то система комплексних чисел потребувала б подальшого розширення. Насправді, однак, справедлива наступна теорема

Теорема (основна теорема алгебри комплексних чисел). Всякий многочлен з числовими коефіцієнтами, степінь якого не менше 1, має хоча б один корінь, дійсний або комплексний.

Ця теорема є одним з найважливіших досягнень всієї математики і знаходить застосування в різних областях науки. На ній ґрунтується вся теорія многочленів з числовими коефіцієнтами, і тому цю теорему називають просто “основною теоремою вищої алгебри”.

Розглянемо важливі наслідки з основної теореми.

Основна теорема дозволяє стверджувати існування для многочлена кореня , дійсного або комплексного. Тому многочлен має розклад

.

Многочлен знов є многочленом з числовими коефіцієнтами і тому в існує корінь , звідки

.

Продовжуючи таким чином, після скінченного числа кроків прийдемо до справедливості твердження:

Теорема (про розклад многочлена на лінійні множники) Всякий многочлен -го степеня можна подати у вигляді

(2)

де – корені многочлена, – коефіцієнт многочлена при . Розклад (2) є для многочлена єдиним з точністю до перестановки множників.

Множники , у формулі (2) називаються лінійними множниками. Формула (2) називається розкладом многочлена на лінійні множники.

Якщо деякі з лінійних множників однакові, то об’єднуючи їх, розклад (2) можна переписати у вигляді:

,

де і серед коренів вже нема однакових. У цьому випадку корінь називається коренем кратності або -кратним коренем, – коренем кратності і т.д. Корінь кратності 1 називається простим коренем.

Теорема (про кратні корені многочлена). Всякий многочлен з числовими коефіцієнтами, степінь якого не менше 1, має коренів, якщо кожен з коренів враховувати стільки разів, яка його кратність.

Дата добавления: 2014-01-04