Числовые неравенства и их свойства

Числовые равенства и их свойства

Пусть даны 2 числовых выражения А и В. Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А = В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выражения А и В имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример. 1) 16: 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15: (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А = В и С = D, где А, В, С, D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А) + (С) = (В) + (D), (А) – (С) = (В) – (D), (А) ∙ (С) = (В) ∙ (D), (А): (С) = (В): (D), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А = А);

2) симметричности (А = В Þ В = А);

3) транзитивности (А = В Ù В = С Þ А = С), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В Þ (А) + (С) = (В) + (С));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В Þ (А) ∙ (С) = (В) ∙ (С));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – нечетное натуральное число, то А = В Û (А) ^п = (В) ^п;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выражений А и В неотрицательны, то А = В Û (А) ^п = (В) ^п. Если снять условие, что значения числовых выражений А и В неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликацию А = В Þ (А) ^п = (В) ^п.

Пусть А и В – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. Неравенство А < В считается истинным, если А и В имеют числовые значения, причем числовое значение выражения А меньше числового значения выражения В.

Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤ В является дизъюнкцией неравенства А < В и равенства А = В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а, b, с, d – соответствующие значения числовых выражений А, B, C, D.

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А < В Þ (А) + (С) < (В) + (С));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А < В Þ (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А < В Þ (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А < В, С < D Þ (А) + (С) < (В) + (D));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А < В, С < D, причем а, b, с, d > 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, то А < В Û (А) ^п < (В) ^п);

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число и а, b ≥ 0, то А < В Û (А) ^п < (В) ^п);

8) если а, b < 0, А < В Û >.

Дата добавления: 2014-01-04