КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные методы решения уравнений
1. Линейное уравнение. Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида аx + b = 0, где а, b – действительные числа. Это уравнение равносильно уравнению аx = – b. Для линейного уравнения аx = – b возможны 3 случая: 1) а ≠ 0, уравнение имеет единственный корень х = –; 2) а = 0, b = 0, в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ х = 0, х – любое число, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней; 3) а = 0, b ≠ 0, получаем уравнение 0 ∙ х = – b, оно корней не имеет. Пример. х + = 0 По следствию из теоремы 1 оно равносильно уравнению х = –. Разделив обе части этого уравнения на, получим х = –. 2. Квадратное уравнение. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с ÎR, а ≠ 0 называют квадратным уравнением. Корни уравнения находят по формуле. Выражение b 2 – 4 ас называют дискриминантом квадратного уравнения. Если, то уравнение имеет 2 различных действительных корня; если D, уравнение не имеет действительных корней; если D, то уравнение имеет 2 равных действительных корня. 3. Неполное квадратное уравнение. Если в квадратном уравнении ах 2 + bх + с = 0 b = 0 или Пример 1. 2 х 2 – 5 х = 0 х (2 х – 5) = 0 х = 0 или 2 х – 5 = 0 х = Ответ:; Пример 2. 2 х 2– 8 = 0 х 2 – 4 = 0 (х – 2)(х + 2) = 0 х = 2, х = –2 Ответ: {2; –2} 4. Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение х 2 + pх + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – p, а произведение равно q, т.е. х 1+ х 2 = – p х 1 ∙ х 2 = q Пример. х 2 – 9 х + 14 = 0 х 1+ х 2 = 9 х 1 ∙ х 2 = 14 Такими числами являются числа 2 и 7 Ответ: {2; 7} 5. Уравнение с переменной в знаменателе. = 0 Решение уравнения такого вида основана на следующем утверждении: 0, тогда только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Уравнение такого вида равносильна системе:
Пример. =0 Û 3 х – 6 = 0, х 2 – х – 2 0 Решая первое уравнение, получаем, что х = 2. При этом значении знаменатель х 2 – х – 2 обращается в нуль, следовательно, данное уравнение корней не имеет. 6. Уравнение f (x) = g (x) называется рациональным, если f (x) и g (x) рациональные выражения. Уравнение вида равносильно системе Пример.
Решим уравнение. x 1=2; x 1=4. Проверим, не обращают ли найденные значения переменной х знаменатель в нуль. (2 – 2) ∙2 ∙ 2 ¹ 0 – ложь, (2 – 4) ∙2 ∙ 4 ¹ 0 – истина. Ответ: 7. Решение уравнения)=0. Методом разложения левой части на множители. Пусть надо решить уравнение) = 0, где) многочлен степени n. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: р (х) = р 1(х) ∙ р 2(х) ∙ … ∙ рп (х). Тогда уравнение примет вид р 1(х) ∙ р 2(х) ∙ … ∙ рп (х) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно данное уравнение выглядит равносильно совокупности р 1(х) = 0 Ú р 2(х) = 0 Ú … Ú рп (х) = 0. Пример. x 3 + 2 x2 + 3 x + 6 = 0 (x 3+3 x) + (2 x 2 + 6) = 0 х (x 2 + 3) + 2(x 2 + 3) = 0 (х +2) ∙ (x 2 + 3) = 0 х + 2 = 0, x 2 + 3 = 0. Из первого уравнения находим, что х = –2, второе уравнение корней не имеет. Ответ: 8. Решение уравнений методом введения новой переменной. Суть этого метода покажем на примере. Пример. (х 2 – 3 х)2 + 3(х 2 –3 х) –28 = 0 Положим, что х 2 – 3 х = у, тогда получим уравнение у2 + 3 у – 28 = 0, откуда у 1= –7, у 2 = 4. Задача сводится к решению двух уравнений х 2 – 3 х = – 7 и х 2 – 3 х = 4. У первого уравнения дискриминант меньше нуля, поэтому оно корней не имеет; корни второго уравнения 4 и – 1. Ответ: {4; – 1}. 9. Биквадратное уравнение. Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а. Решается такое уравнение методом введения новой переменой х 2 = у.
Пример. х 4 + 4 х 2 – 21 = 0 Введем новую переменную х 2 = у. Получим уравнение у 2 + 4 у – 21 = 0 у 1 = –7, у 2 = 3. Вернемся к переменной х. Получим х 2 = –7 (уравнение корней не имеет), х 2 = 3 (х 1 =, х 2 =, Ответ: { } 10. Графическое решение уравнений. Строит график функции у = f (x) и находят точки пересечения графика с осью абсцисс. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1682; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |