Непрерывность функции через приращения функции и аргумента

Непрерывность функции

1. Непрерывность функции в точке.

1 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, принадлежащей области определения функции, если для любого положительного числа ε существует такое положительное δ, что для всех х, удовлетворяющих условию, будет выполнено неравенство

2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.. Равенство означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке.

Условие непрерывности функции в точке: если односторонние пределы функции в точке х₀ существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х₀, следовательно, функция в точке х₀ будет непрерывна.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Случаи появления разрывов	Рисунок
1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0.
2. Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х0.
3. Функция определена в точке х0 и ее окрестности, предел функции в точке х0 существует, но этот предел не равен значению функции в точке x0.

2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке односторонние пределы существуют, конечны и не равны. График функции в этой точке претерпевает «скачок» равный разности между правым и левым пределом функции в этой точке.

- Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность.

пример	Вид разрыва	Рисунок
	точка х0 =2 называется точкой конечного разрыва
	точка х0=0 называется точкой устранимого разрыва. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной
	x0=2 -точка разрыва второго рода.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х₀) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀)

3 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Дата добавления: 2014-01-04