ВВЕДЕНИЕ. Оперативное, нередко это паллиатив

Лекция 14. АППРОКСИМАЦИЯ СИГНАЛОВ И ФУНКЦИЙ

Лечение

Оперативное, нередко это паллиатив. Обязательная дегидратационная терапия, R, радиа и химиотерапия..

Формулы сигналов, детально и точно описывающие определенные физические объекты и процессы, могут быть очень сложными и мало пригодными для практического использования, как при математическом анализе физических данных, так и в прикладных задачах, особенно при расчетах ожидаемых результатов измерений и при математическом моделировании физических процессов. Кроме того, практическая регистрация физических данных выполняется, как правило, с определенной погрешностью или с определенным уровнем шумов, которые по своим значениям могут быть выше теоретической погрешности прогнозирования сигналов при расчетах по сложным, хотя и очень точным формулам. Не имеет большого смысла и проектирование систем обработки и анализа сигналов по высокоточным формулам, если повышение точности расчетов не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представления произвольных сложных функций f(x) простыми и удобными для практического использования функциями j(x) таким образом, чтобы отклонение j(x) от f(x) в области ее задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции j(x) получили название функций аппроксимации.

Математика очень часто оперирует со специальными математическими функциями решения дифференциальных уравнений и интегралов, которые не имеют аналитических выражений и представляются табличными числовыми значениями y_i для дискретных значений независимых переменных x_i. Аналогичными таблицами {y_i, x_i} могут представляться и экспериментальные данные. Точки, в которых определены дискретные значения функций или данных, называются узловыми. Однако на практике могут понадобиться значения данных величин совсем в других точках, отличных от узловых, или с другим шагом дискретизации аргументов. Возникающая при этом задача вычисления значений функции в промежутках между узами называется задачей интерполяции, за пределами семейства узловых точек вперед или назад по переменным – задачей экстраполяции или прогнозирования. Решение этих задач также обычно выполняется с использованием аппроксимирующих функций.

Сглаживание статистических данных или аппроксимация данных с учетом их статистических параметров относится к задачам регрессии, и рассматриваются в следующей теме. Как правило, при регрессионном анализе усреднение данных производится методом наименьших квадратов (МНК).

Все вышеперечисленные задачи относятся к задачам приближения сигналов и функций и имеют многовековую историю, в процессе которой сформировались классические математические методы аппроксимации, интерполяции, экстраполяции и регрессии функций. В рамках настоящего курса мы не будем углубляться в строгую математическую теорию этих операций. Все современные математические системы (Mathcad, Matlab, Maple и пр.) имеют в своем составе универсальный аппарат выполнения таких операций, дающий пользователю возможность реализации любых практических задач по обработке данных без отвлечения на теоретические подробности их исполнения. Не имеют также большого смысла особенности их использования в различных системах (крутить педали можно учиться на любой марке велосипеда), поэтому в качестве основной математической системы для примеров будем использовать систему Mathcad.

Дата добавления: 2014-01-04