Интерполяция и экстраполяция сигналов

Самыми простыми способами обработки таблиц являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям:

f(x)_лин = а₀ + а₁х. f(x)_кв = а₀ + а₁х + а₂х².

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых. В системе Mathcad для этого используется функция linterp(X,Y,x), где X и Y – вектора узловых точек. Функция linterp(X,Y,x) возвращает значение функции при её линейной интерполяции по заданным аргументам х. При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена и за пределами области определения сигнала может вести себя непредсказуемо.

Линейная и квадратичная аппроксимация являются частным случаем полиномиальной интерполяции с помощью аппроксимирующего полинома:

f(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + a_nxⁿ =a_i·xⁱ. (14.2.1)

Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (14.2.1) составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов a_i. При глобальной интерполяции, по всем N точкам задания функции, степень полинома равна N-1. Пример выполнения глобальной интерполяции приведен на рис.14.2.1. Равномерной дискретизации данных для интерполяции не требуется. Максимальная степень полинома на практике обычно устанавливается не более 8-10, а большие массивы данных интерполируются последовательными локальными частями.

Рис. 14.2.1. Интерполяция данных.

Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу /40/. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-й степени Y(x):

Y(x) = + +…

…+ . (14.2.2)

Пример интерполяции по Лагранжу приведен на рис. 14.2.2.

Рис. 14.2.2. Интерполяция по Лагранжу.

Дата добавления: 2014-01-04