Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема 2.4 Решение МКЭ тепловой задачи для цилиндра. Алгоритм расчета

Лекция 12

 

Математическая модель линейной задачи теплопроводности с внутренним тепловыделением в цилиндрических координатах имеет вид:

(1)

с граничными условиями:

(2)

(3)

(4)

, (5)

где r и z – радиальная и аксиальная координаты; W – функция распределения внутренних источников тепла, полученных в результате решения электромагнитной задачи (1)..(4); – коэффициент температуропроводности,; - степень черноты материала загрузки; – коэффициент излучения абсолютно черного тела; - коэффициент теплообмена с окружающей средой конвекцией и зависит от геометрических размеров и формы стенки нагреваемого изделия; q – тепловой поток от корпуса взрывателя к корпусу посадочного гнезда.

Начальные условия характеризуются произвольным в общем случае пространственным распределением

(6)

В граничных условиях отражены три вида теплообмена: конвективный, передача тепла теплопроводностью и излучением. Это связано с технологическим процессом нагрева взрывателя. На первом этапе осуществляется индукционный нагрев холодной загрузки при наличии теплообмена конвекцией с окружающей средой. В это время учитывается отток тепла от взрывателя к посадочному гнезду в виде плотности теплового потока.

Как было сказано выше, решение тепловой задачи проведем методом конечных элементов, который дает возможность достаточно точно учитывать все нелинейности, путем изменения всех нелинейных величин с каждым шагом по времени, а также задать сложную геометрию нагреваемого изделия. Следуя МКЭ, дифференциальному уравнению (45) ставится в соответствие вариационная формулировка о минимизации энергетического функционала, характеризующего тепловое состояние тела:

(7)

где Lh – граница с конвективным теплообменом; Lq – граница, которую пронизывает поток q; .

Исследуемая область аппроксимируется совокупностью элементов с конечным числом узловых точек. Функционал (51) заменяем суммой отдельных вкладов элементов, определяя, таким образом, функциональные соотношения относительно узловых неизвестных.

В качестве элементов использовались симплекс-элементы, т. е. такие, для которых интерполяционный полином имеет первую степень координат.

Вершины треугольников, обозначаемые индексами в направлении против часовой стрелки, образуют локальную систему узлов.

Для произвольного элемента еi пробная функция выбирается линейной, т. е.

; i, (8)

где , , -- постоянные, в общем случае отличные для различных элементов. Значения этих постоянных определяются из выражений

(9а)

(10)

(11)

где: , а постоянные , , , , , определяются путем циклической перестановки индексов. определяется как удвоенная площадь элемента.

Подставляя в (10), получим

, (12)

где

(13)

является матрицей базисных функций, а

(14)

представляет собой вектор узловых значений температуры.

Определяем вклады элементов в матрицы [ K ] жесткости, матрицы [ C ] демпфирования и в вектор { F }

источников.

(15)

(16)

. (17)

Здесь

(18)

(19)

Вектор { F } источников формируется из внутренних источников тепла w, обусловленных вихревыми токами в изделии, из конвективных потерь, определяемых коэффициентом h теплообмена, и из потока q тепла через стенку. Рассмотрим теплообмен с внешней средой по двум граничащим со средой сторонами. Примем, что имеет место общий случай граничных условий.

Рис. 1. Аппроксимирующий элемент.

 

Для случая, представленного на рис. 1, получим:

(20)

(21)

(22)

где

, , (23)

– вычисляется по формуле (12). Следует отметить, что в выражениях (21), (22) интегралы вычислены приближенно. Это вполне допустимо, если размеры элемента намного меньше среднего радиуса. Полученные матрицы для элементов объединяются в глобальные матрицы.

Процесс ансамблирования осуществляется с помощью процедуры поэлементного объединения. Такой способ безразличен к разнородности конечных элементов, из которых собрана исследуемая система. В результате ансамблирования преобразованных элементарных матриц , формируются глобальные матрицы ансамбля КЭ , , которые являются симметричными ленточными матрицами размерностью (S*S) с шириной полуленты mk. Величина S равна S=Nu, Nu – количество узлов. Учитывая особенности этих матриц, в памяти ЭВМ достаточно хранить коэффициентов для каждой матрицы, что существенно снижает потребные ресурсы ЭВМ по памяти и позволяет решать задачи с густой сеткой КЭ. Практически матрицы ансамбля хранятся в виде одномерных массивов размерностью N, а работа с ними производится с помощью вычисляемых индексов.

Полученные матрицы , и с учетом замены временной производной конечно-разностным аналогом, объединяем в систему уравнений (схема Галеркина).

(24)

где D t – временной шаг, n – номер шага.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема 1.7 Нагрев цилиндра конечных размеров | Тема 3.1 Термонапряжения при индукционном нагреве. Постановка задачи. Алгоритм решения МКЭ
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 271; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.