Лекция 10. На прошлой лекции мы установили, что если линия второго порядка, задана относительно ОДСК общим уравнением

На прошлой лекции мы установили, что если линия второго порядка, задана относительно ОДСК общим уравнением

то уравнение диаметра, сопряжённого хордам неасимптотического направления имеет вид:

, а его направляющий вектор имеет координаты: , .

§ 147. Касательная к линии второго порядка

Пусть относительно ОДСК на плоскости задана линия второго порядка общим уравнением (1). Будем называть точку , лежащую на этой линии

неособой, если среди чисел и есть хотя бы одно, не равное нулю. Ясно, что точка , лежащая на линии (1), является особой тогда и только тогда, она является центром линии (1).

Таким образом, среди линий эллиптического типа только линия, распадающаяся на две мнимые пересекающиеся прямые имеет особую точку (это точка их пересечения); среди линий гиперболического типа особую точку имеет пара пересекающихся прямых (это также точка их пересечения) и, наконец, среди линий параболического типа особые точки имеет пара совпадающих прямых (особыми точками являются все точки прямой, с которой совпадают рассматриваемые прямые).

Определение. Касательной к линии второго порядка в неособой точке, лежащей на этой линии, называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая данную линию в двукратной точке, или совпадающая с прямой, входящей в состав данной линии.

Теорема 1. Пусть - неособая точка линии второго порядка, заданной относительно ОДСК общим уравнением (1). Тогда уравнение касательной к этой линии в точке имеет вид:

Доказательство. Рассмотрим уравнение прямой

, ,

проходящей через данную неособую точку М ₀ линии (1). Подставляя в уравнение (1) , вместо и , получим:

или, раскрывая скобки:

Но по предположению точка лежит на данной линии, поэтому:

и уравнение (3) принимает вид:

Одним из корней этого уравнения является ; при этом из соотношений , находим: , , т.е. координаты точки М ₀.

Для того, чтобы прямая (3) являлась касательной к линии (1), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (4) имело и второй корень, равный нулю, а для этого необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие:

Таким образом, координаты направляющего вектора касательной будут такими:

, (5)

(Этот вектор ненулевой, т.к. точка по предположению неособая (а по определению неособой точки, числа и не должны одновременно обращаться в нуль).

Если вектор , координаты которого определяются соотношениями (5), неасимптотического направления, т.е. , то уравнение (4) имеет двукратный корень ; а если вектор имеет асимптотическое направление, то есть , то уравнение (4) обращается в тождество, в этом случае прямая , входит в состав данной линии (1) и, значит, согласно принятому определению, является касательной к линии (1) в точке .

Итак, уравнения касательной к линии (1) в её неособой точке имеют вид: , ,

или

или

и, так как

то окончательно

ЧТД.

Теорема 2. Пусть относительно ОДСК линия второго порядка задана общим уравнением (1). Пусть диаметр (6) этой линии, сопряженный хордам, имеющим неасимптотическое направление , пересекает рассматриваемую линию в неособой точке . Тогда касательная к этой линии в точке М ₀ параллельна хордам, которым сопряжён диаметр (6).

Доказательство. Так как диаметр (6) проходит через точку , то:

и так как неособая точка рассматриваемой линии, то можно считать, что:

, ,

а это координаты направляющего вектора касательной к рассматриваемой линии второго порядка в неособой точке (смотрите выше формулы (5)). ЧТД.

Замечание. Данное в этом параграфе определение касательной к линии второго порядка в её неособой точке совпадает с определением касательной линии, которое даётся в курсе математического анализа. Здесь линия задана уравнением вида . Функция при , обращается в нуль, а частные производные от неё по и , т.е. и , согласно условию теоремы 1 одновременно в нуль не обращаются. Функция двух переменных от и , значит уравнение касательной к линии можно записать в виде (как известно из курса матанализа):

. В нашем случае:

что совпадает с выведенным выше уравнением.

§ 148. Уравнение линии второго порядка, отнесённой к двум её сопряжённым диаметрам; уравнение линии второго порядка, отнесённой к касательной и сопряжённому к ней диаметру.

Теорема 3. Пусть относительно ОДСК линия вто-рого порядка задана общим уравнением (1). Для того, чтобы одна из осей имела направление, сопряженного хордам, параллельным другой оси, необходимо и достаточно, чтобы , т.е. чтобы уравнение (1) имело вид:

Доказательство. Пусть, например, ось не имеет асимптотического направления. Тогда координаты вектора, параллельного диаметру, сопряжённому хордам, параллельным оси , будут ; (поскольку, как известно: ; ). Но вектор коллинеарен оси тогда и только тогда, когда . ЧТД.

Теорема 4. Пусть относительно ОДСК линия вто-рого порядка задана общим уравнением (1) и пусть она имеет единственный центр. Тогда, если оси координат являются сопряжёнными диаметрам этой линии, а начало координат – её центром, то уравнение линии имеет вид: где

и . Обратно, если уравнение линии, имеющей единственный центр, имеет относительно ОДСК уравнение где и , то начало координат является центром линии, а оси координат её сопряжёнными диаметрами.

Доказательство. Если оси координат являются сопряженными диаметрами линии (1), то (теорема 3 этого параграфа). А так как начало координат является центром линии, то в её уравнении должны отсутствовать слагаемые с и в первых степенях.

Обратно, если уравнение линии второго порядка, заданное относительно ОДСК, имеет вид: то начало координат являет-ся центром линии (что известно из теоремы 1, § 144).

Далее, линия имеет единственный центр, значит откуда и ;

Наконец, так как в уравнении

коэффициент при равен нулю, то оси координат являются сопряжёнными диаметрами этой линии (теорема 3 настоящей лекции, достаточность). ЧТД.

Теорема 5(1). Если ОДСК по отношению к эллипсу расположена так, что:

А) Оси координат являются сопряжёнными диаметрами эллипса;

Б) Единичной точкой оси является любая точка пересечения одного из диаметров с эллипсом;

В) Единичной точкой оси является любая точка пересечения другого диаметра с эллипсом, то уравнение эллипса будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК дано уравнение , то это уравнение эллипса, а система координат по отношению к нему обладает свойствами А), Б), В).

Теорема 5(2). Если ОДСК по отношению к гипер-боле расположена так, что:

Г) Оси координат являются сопряжёнными диаметрами гиперболы;

Д) Единичной точкой Е системы координат является точка пересечения любой из асимптот гиперболы с касательной в любой из точек пересечения одного из этих диаметров с гиперболой, то уравнение гиперболы будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК задано уравнение , то это уравнение гиперболы, а система координат по отношению к ней обладает свойствами Г), Д).

Теорема 5(3). Если ОДСК по отношению к пара-боле расположена так, что:

Е) Осью является касательная к параболе в любой точке , лежащей на этой параболе;

Ж) Осью является диаметром параболы, проходящий через точку ;

З) Единичная точка Е системы координат лежит на параболе, то уравнение параболы будет иметь вид: .

Обратно, если относительно некоторой ОДСК задано уравнение , то это уравнение параболы, а система координат по отношению к ней обладает свойствами Е), Ж),З).

Доказательство 5(1). Так как оси координат являются сопряжёнными диаметрами эллипса, то его уравнение имеет вид (теорема 1 сегодняшней лекции). Так как точки и принадлежат эллипсу, то, подставляя их координаты в уравнение , получим выражения: , и последнее уравнение примет вид: или .

Обратно, линия имеет единственный центр (т.к. ). Далее, на основании теоремы 4 для линии, заданной уравнением оси координат являются сопряжёнными диаметрами линии (т.к. нет слагаемого с ) и оси координат пересекают линию в 4 точках: , . Но этим свойством по отношению к сопряжённым диаметрам обладает только эллипс. Утверждение 5(1) доказано.

Доказательство 5(2). Так как оси координат являются сопряжёнными диаметрами гиперболы, то её уравнение имеет вид: . Точка должна лежать на этой гиперболе, а точка на одной из её асимптот . Значит ; и уравнение гиперболы принимает вид: , или .

Обратно, линия имеет единственный центр, а на основании теоремы 4, оси координат являются её сопряжёнными диаметрами. Один из этих диаметров (ось ) пересекает линию в двух точках , а другой (ось ) её не пересекает. Этим свойством по отношению к сопряжённым диаметрам обладает только гипербола. Далее, точка лежит на гиперболе , а точка - на её асимптоте . Утверждение 5(2) доказано.

Доказательство 5(3). Диаметр параболы имеет направление, сопряжённое по отношению касательной к параболе в той точке, в которой он пересекает эту параболу, поэтому в общем уравнении параболы должно быть . Так как, кроме того, начало координат лежит на параболе, то . Значит, уравнение параболы имеет вид: .

Уравнение касательной к этой параболе согласно формулы: имеет вид: (Это потому, что начало координат , а, т.к. касательная в начале координат является осью , то это уравнение эквивалентно уравнению , значит , ; и последнее уравнение принимает вид:. , где . Здесь, также , так как в противном случае уравнение определяло бы две прямые: и . Если бы ещё было , то линия имела бы центр (притом единственный), а парабола центра не имеет. Значит и уравнение параболы принимает вид: . Далее, так как единичная точка лежит на этой параболе, то . Отсюда и последнее уравнение принимает вид: , или .

Обратно. Все диаметры линии параллельны оси . В самом деле, координаты векторов, имеющих асимптотическое относительно линии , определяются из уравнения , т.е. ось имеет асимптотическое направление.

Пусть , - любой вектор, не имеющий асимптотического направления относительно линии . Уравнение диаметра ему сопряжённого (согласно формуле для диаметра линии второго порядка , а в нашем случае , , , , , ), примет вид: , или , т.е. все диаметры линии оказались

параллельными между собой, а этим свойством обладает только парабола. Далее, уравнение касательной к линии в точке имеет вид - это ось .

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам, параллельным вектору , имеет вид - это ось . Наконец, единичная точка , очевидно, лежит на линии . Теорема 5 доказана.

Теорема 6. Если неособую точку линии второго порядка принять за начало координат, за ось - диаметр, проходящий через эту точку, а за ось - касательную к линии второго порядка в этой точке, то уравнение линии примет вид: , где ; . И обратно, всякое такое уравнение в случае , является уравнением линии второго порядка, по отношению к которой система координат обладает сформулированными выше свойствами.

Доказательство. Так как касательная к линии второго порядка в её неособой точке имеет направление, которому сопряжён диаметр, проходящий через эту точку, то в общем уравнении линии коэффициент при будет равен нулю. Далее, т.к. линия проходит через начало координат, то .

Затем, поскольку уравнение линии имеет вид: , то уравнение касательной к этой линии в начале координат будет выглядеть следующим образом: и, так как оно должно быть эквивалентно уравнению оси , то , , и последнее уравнение примет вид: .

Обратно, если , то начало координат - неособая точка линии. Уравнение касательной к этой линии в точке имеет вид: - ось . Диаметр, сопряжённый хордам, параллельным вектору (не имеющему асимптотического направления в силу ), имеет уравнение - ось . ЧТД

Теперь, давайте вместо одной линии второго порядка, заданной общим уравнением (1)

то есть уравнением (где через обозначена левая часть уравнения (1)), рассмотрим семейство линий , где - принимает все действительные значения.

Если уравнение есть уравнение или действительного эллипса, или мнимого эллипса, или уравнение двух мнимых пересекающихся прямых, то в семейство включаются все эллипсы с общим центром (т.к. координаты центра определяются из системы: т.е. из системы уравнений не содержащих свободного члена уравнения линии второго порядка (1)) и гомотетичные друг другу, причём центром гомотетии является их общий центр. В самом деле, после переноса начала координат в центр линии получим вместо уравнения уравнение: , а вместо уравнения - получим уравнение: . Теперь, если и , то одно из этих уравнений переходит в другое заменой и на и (при подходящем выборе . На рис. 219 изображено семейство действительных эллипсов, входящих в семейство линий второго порядка эллиптического типа.

Рис. 219.

Если линия гиперболического типа, то семейство будет состоять из всех соасимптотических гипербол, при этом гиперболы, лежащие в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их общими асимптотами, гомотетичны друг другу относительно центра (См. рис. 220)

Если линия - уравнение параболы, то есть уравнения парабол, полученных параллельным переносом (См. рис. 221)

Дата добавления: 2014-01-04