Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

На прямые и плоскости в пространстве




Основные метрические задачи

 

 

1. Угол между двумя прямыми в пространстве.

Возьмем в пространстве две непараллельные прямые и . Тогда и являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если и пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между и называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит остальные.

Пусть и являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве произвольную точку и проведем через нее прямые и (рис. 82). Прямые и образуют четыре угла с вершиной . Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми и .

 
 

 


Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми и . Пусть и - направляющие векторы прямых и соответственно. Возможны два случая:

а) Если , то . Тогда .

б) Если , то . Тогда .

Из пунктов а), б) следует, что . Таким образом,

. (35)

2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Из формулы (35) получаем:

.

Итак,

(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).

Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если не перпендикулярна , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 83).

 

Если , то угол между и считается равным .

Пусть и не перпендикулярна , - направляющий вектор прямой , а плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением . Найдем величину угла между прямой и плоскостью . Положим .

Возможны два случая:

а) Если (рис. 84, а), то .

б) Если (рис. 84, б), то

.

 

Из пунктов а), б) следует, что . Учитывая, что , получаем:

. (36)

Заметим, что если , то , тогда (соответственные координаты коллинеарных векторов пропорциональны). Тогда левая часть формулы (36) будет равна:

,

а правая – .

Таким образом, если , то формула (36) также справедлива.

4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

. Применяя условие коллинеарности двух векторов в координатах, получим:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Укажите на чертеже угол между ребром куба и диагональю его грани ; угол между ребрами и .

2. Вычислите величину угла между прямой и осью абсцисс прямоугольной декартовой системы координат .

3. – середина ребра куба . Укажите на чертеже угол между прямой и плоскостью нижнего основания куба.

4. Вычислите величину угла между прямой и координатной плоскостью прямоугольной декартовой системы координат .

5. Выясните, будет ли прямая перпендикулярна плоскости прямоугольной декартовой системы координат .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 347; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.