КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства гиперболы
1°. Из уравнения (40) следует, что или . Следовательно, все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми и (рис. 91). 2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.
Пусть и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что гипербола симметрична относительно начала координат, оси и оси соответственно. Таким образом, точка является центром симметрии, оси и - осями симметрии гиперболы . Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы. 3°. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии. Чтобы найти точки пересечения гиперболы с осью , надо решить систему их уравнений: Решая систему, получаем: . Аналогично находим, что . Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины. Отрезки и называются соответственно действительной и мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа и - действительной и мнимой «полуосями» гиперболы. 4°. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой . Для этого решим систему Получаем уравнение . Корни - это абсциссы точки пересечения прямой с . Рассмотрим три случая: 1) Если , т.е. , то и имеют две общие точки; 2) Если , т.е. , то ; 3) Если , т.е. , то . Следовательно, все точки гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92). Гипербола имеет две ветви.
Случаю 3) соответствуют две прямые и с угловыми коэффициентами и . Эти прямые (и ) называются асимптотами гиперболы. При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки гиперболы точка неограниченно приближается к асимптоте.
Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение гиперболы (рис. 93):
Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как для гиперболы , то . Чем больше , тем больше гипербола «вытянута» вдоль мнимой оси. Гипербола, у которой , называется равносторонней. Ее каноническое уравнение . Уравнения ее асимптот . Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии . Уравнения директрис: или ; или (рис. 94). Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е. (рис. 94).
Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой. Гипербола называется сопряженной к гиперболе . Ее мнимой осью является ось (на рис. 94 она изображена пунктиром).
Задания для самостоятельной работы 1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:
2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:
3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:
4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 948; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |