Определение случайной ошибки измерительной системы

Если известно, что отклонения показаний прибора распределены по нормальному закону и задан один из показателей точности σ или h, то можно легко оценить работу прибора в схеме (исследовательской установке) данного эксперимента. Можно попытаться прокалибровать прибор или проверить его точность с помощью известных исходных данных или, что более типично для инженерных экспериментов, приближенно оценить величину случайной ошибки. При выполнении важного эксперимента или ответственного измерения, когда необходима более точная оценка ошибок, следует провести проверку или калибровку прибора.

Быстрым и простым способом проверки на нормальность является нанесение отклонений на вероятностную бумагу. Это графическая бумага, на которой нормально распределенная совокупность отсчетов образует прямую линию. Вероятностную бумагу можно легко изготовить самому с помощью стандартной графической бумаги (с линейными шкалами) следующим образом.

Рис.6 Данные из примера, нанесенные на вероятностную бумагу. Прямая проведена через пять внутренних точек, внешние точки игнорируются.

Отклонение х от точного размера	Число отклонений, не превышающих заданного	Процент отклонений, не превышающих заданного
—0,20		3,2
—0,15		3,2
—0,10		6,4
—0,05		19,4
		61,2
40,05
+0,10
+0,15
+0,20

Определение твердости по Бриннелю на образце, твердость которого известна. По оси х откладываются отклонения; при этом нуль помещается в середине листа и шкала выбирается таким образом, чтобы охватить весь интервал значений имеющихся данных. Все результаты округлены до 0,05 мм. В середине шкалы по оси у наносится точка, соответствующая 50%.

Хотя полученная кривая имеет неправильную форму, она проходит вблизи точки (х = 0, у = 50%),

Рассматриваемая выборка данных является частью бесконечной генеральной совокупности, имеющей нормальное (или близкое к нему) распределение.

После определения распределения отклонений необходимо найти числовые значения показателей точности:

Среднее квадратическое отклонение s (аналог s @ s для полной совокупности) — легко найти с помощью имеющейся выборки данных. Исходя из определения среднего квадратического отклонения, формулу для этого показателя можно записать, рассматривая конечную выборку отклонений, а не бесконечную генеральную совокупность, как в предыдущем разделе:

Вместо s записано s, так как рассматривается выборка, а не вся совокупность.

Для приведенного примера:

± х. мм	0,2	0,1	0,05
х ^2	0,04	0,01	0,0025
Число измерений ni					(Σni = 31)
Произведение числа измерений на х^2	0,08	0,05	0,0275		(Sniх^2 = 0,1575)

Тогда при использовании аналогии, введя обозначение для выборки (h@h, s @ s):

Из формулы (2.9), записанной для приведенного варианта выборки, имеем:

Для полной совокупности Р_х=0,682 для х £hs = 0,707, для выборки и

следовательно, Р_х=0,682 при х£

~68% всех значений твердости на этом участке шкалы будет отклоняться от точного значения не более чем на 0,075 мм, Вероятность 50% - х £0,477/h

Доверительный интервал, это интервал, в который попадают 95% результатов измерений Р=95%; Из таблиц hx=1,4; х =1,4 /s; s - из экспериментов.

“Наилучший” результат выборки

Если выборка подчиняется нормальному закону распределения, как получить наилучшую оценку отсчета, имея некоторое множество отсчетов, и сколько отдельных отсчётов следует брать. Математический анализ на мах показывает, что наиболее вероятное значение измерения Хc равно среднему арифметическому значению полученных п отсчетов.

Ошибка среднего обратно пропорциональна квадратному корню из числа отсчетов, по которому получено это среднее. Число измерений увеличиваешь в 4 раза, ошибка измерений среднего уменьшается в 2 раза.

В связи с определением среднеквадратичного отклонения от среднеарифметического значения для нахождения среднего квадратического отклонения: используется более точная зависимость:

Оценка ошибки результата (зависимых переменных) эксперимента в зависимости от формул обработки и точности измерения независимых (изменяемых) переменных.

Абсолютная погрешность измерения суммы переменных величин равна сумме абсолютных погрешностей измерения отдельных величин:

z=x+y s_z = s_x + s_y

Относительная погрешность измерения произведения переменных величин равна сумме относительных погрешностей измерения отдельных величин:

Относительная погрешность расчета зависимой величины, если переменная величина входит в расчетную зависимость в степени, равна произведению показателя степени на относительную погрешность измерения независимой величины:

z=xⁿy^m s_z /z_ср= n s_x /х_ср+ ms_y /у_ср

Дата добавления: 2014-01-04