Формы записи комплексных чисел

Запись называется алгебраической формой комплексного числа. Модуль и комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора (рис. 94). Тогда , и число можно записать в виде

Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексных чисел. В этом случае где

При переходе к тригонометрической форме в качестве аргумента выбирают его главное значение.

Пример 73. Записать комплексные числа и в тригонометрической форме - .

Решение. Найдем модуль и аргумент числа .

Так как косинус положителен а синус отрицателен, то угол находится в четвертой четверти, т. е. . Таким образом

Сделаем тоже самое для числа .

Так как косинус и синус отрицательны, то угол находится в третьей четвертой четверти, т. е. . Таким образом

Показательная форма.

Любое комплексное число может быть записано в алгебраической и тригонометрической формах

Рассмотрим разложения , и в ряд Маклорена

Тогда

С другой стороны, в разложении в ряд Маклорена для заменим на , тогда получим

Сравнив два разложения, видим, что Это равенство называют формулой Эйлера. Оно позволяет записывать комплексное число в показательной форме . Если в этом равенстве положить , то получим .

Дата добавления: 2014-01-04