Собственных векторов линейных операторов

Практический способ нахождения собственных значений и

1. Находим корни характеристического уравнения | A– l E |=0, лежащие в поле P. Если таковые есть, то они и только они являются собственными значениями оператора A; если таковых нет, то оператор A не имеет ни собственных значений, ни собственных векторов.

2. Для каждого собственного значения l=l₀ находим множество всех ненулевых решений однородной системы (8); это будет множество [ P (l₀)] всех координатных строк собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению l₀ .

3. Находим множество P (l₀) всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l₀ :

P (l₀)={ b₁ e ₁+b₂ e ₂+…+b _ne_n | (b₁, b₂,…, b _n)Î [ P (l₀)]}.

Пример 4. Пусть

матрица линейного оператора A пространства V над полем R в базисе e ₁, e ₂, e ₃. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A.

1.Находим собственные значения оператора A:

.

2. а) Для собственного значения l₁ = 1 множество [ P (1)] всех координатных строк собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению l₁ = 1. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы:

.

Фундаментальный набор решений этой системы состоит из одного вектора . Таким образом, [ P (1)]={(a,0,0)| aÎ R, a¹0}.

3. а) Находим множество P (1) всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l₁=1:

P (1)= { b₁ e ₁+b₂ e ₂+b₃ e ₃ | (b₁, b₂, b₃)Î [ P (1)]} = {a e ₁ | aÎ R, a¹0}.

2. б) Для собственного значения l₂ = 2 множество [ P (2)] всех координатных строк собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению l₂ = 2. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы:

.

Фундаментальный набор решений этой системы состоит из двух векторов . Отсюда

[ P (2)]={a (2,1,0)+ b(3,0,1)| a,bÎ R }={(2a+ 3b, a, b)| a,bÎ R, a²+b²¹0}.

3. б) Находим множество P (2) всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l₂=2:

P (2)={b₁ e ₁+b₂ e ₂+b₃ e ₃|(b₁, b₂, b₃)Î [ P (2)]}={(2a+ 3b) e ₁+a e ₂+b e ₃|a,bÎ R, a²+b²¹0}.

Замечание 1. Рассмотрев векторы b ₁=1 e ₁+0 e ₂+0 e ₃, b ₂=2 e ₁+1 e ₂+0 e ₃, b ₃=3 e ₁+0 e ₂+1 e ₃ с координатными строками ,

получим базис пространства V, состоящий из собственных векторов b ₁, b ₂, b ₃, так как A b ₁=1 b ₁, A b ₂=2 b ₂, A b ₃=2 b ₃. Найдем матрицу A’ оператора A в этом базисе. Имеем:

A b ₁=1 b ₁+0 b ₂+0 b ₃,

A b ₂=0 b ₁+2 b ₂+0 b ₃,

A b ₃=0 b ₁+0 b ₂+2 b ₃.

Отсюда находим

,

т.е. матрица оператора A в этомбазисе диагональная.

Т е о р е м а 2. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

□ Пусть A – матрица оператора A в базисе e ₁, e ₂ ,…, e_n пространства V над полем P, T – матрица перехода от базиса e ₁, e ₂ ,…, e_n к базису e’ ₁ ,e’ ₂ ,…, e’_n. Тогда матрица A’ оператора A в базисе e’ ₁ ,e’ ₂ ,…, e’_n вычисляется по формуле . Используя известное свойство определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, легко получаем равенства:

◘

Теорема 1 позволяет говорить просто о характеристическом многочлене оператора, не связывая его с базисом пространства.

Дата добавления: 2014-01-04