Оценка значимости фактора

Когда основным источником погрешности являются случайные ошибки измерений, то в точках плана обычно проводятся однократные опыты. В такой ситуации ошибки различных опытов считают взаимно независимыми случайными величинами, распределенными по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и одинаковой, хотя и неизвестной, дисперсией. Следовательно, функция отклика в различных точках плана также распределена нормально. Ее математические ожидания неизвестны и могут быть различными. Оценка влияния фактора в этих условиях проводится на основе применения метода дисперсионного анализа, суть которого заключается в определении значимости различий между средними значениями функции отклика для разных значений исследуемого фактора. Такое сравнение производится не на непосредственном сопоставлении средних значений, а путем сопоставления факторной дисперсии функции отклика, порождаемой воздействием различных значений фактора, и остаточной дисперсии, вызванной случайными причинами. Если факторная дисперсия значимо превышает остаточную дисперсию, то фактор оказывает существенное влияние на функцию отклика. А это значит, что и средние значения функции отклика на разных уровнях фактора различаются существенно.

Итак, исходными данными являются:

- план на латинском (греко-латинском, гипер-греко-латинском) квадрате с количеством уровней изменения факторов, равном п. Пусть уровни анализируемого фактора Р соответствуют столбцам квадрата;

- матрица значений функции отклика Y =|y_kj| размерностью п´п;

- уровень значимости для проверки статистической гипотезы a.

Дисперсионный анализ включает следующие шаги.

1. Вычисление среднего значения функции отклика по всем опытам и среднего значения по различным уровням фактора Р

,

.

2. Оценка факторной дисперсии

.

3. Оценка остаточной дисперсии

.

4. Оценка значимости фактора Р производится на основе метода проверки статистических гипотез. Нулевая гипотеза Н₀ соответствует равенству средних значений функции отклика при различных значениях фактора. В этом случае факторная и остаточная дисперсия являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии функции отклика и поэтому не должны существенно различаться. Очевидно, если оценка факторной дисперсии не превышает оценку остаточной дисперсии, то справедлива гипотеза Н₀. Активная гипотеза Н₁ соответствует утверждению, что факторная дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, следовательно, средние значения также значимо различаются. Проверка осуществляется на основе критерия Фишера

.

Критическое значение критерия F_кр = F(a; n – 1; n² – n) находят стандартным образом, здесь n - 1 соответствует количеству степеней свободы факторной дисперсии, а n² - n – количеству степеней свободы остаточной дисперсии. Если выполняется условие F >F_кр, то фактор Р существенно влияет на функцию отклика, иначе – влияние фактора не существенно.

Критерий Фишера применим только при сравнении дисперсий нормально распределенных величин. Если такой уверенности нет, то к полученному выводу следует относиться осторожно.

В случае проведения повторных опытов в точках плана, распределение средних значений функции отклика будет приближаться к нормальному значению с увеличением количества опытов. И применение критерия Фишера будет достаточно обосновано.

Дата добавления: 2014-01-04