Ожидаемая доходность

Доходность µ, ожидаемая инвестором от акции, зависит от ее рискованности. Чем выше риск, тем выше ожидаемая доходность. Кроме того, доходность зависит от уровня процентных ставок в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше ожидаемая доходность акций любой компании. К счастью, нет никакой необходимости тщательно определять величину µ. Оказывается, что стоимость фондового опциона, выраженная через цену базовой акции, совершенно не зависит от величины µ. Несмотря на это, существует один аспект, связанный с ожидаемой доходностью, который часто вызывает недоразумения и стоит отдельного изучения.

Из равенства (14.1) следует, что величина µΔt представляет собой ожидаемое относительное изменение цены акции за очень короткий промежуток временной интервал Δt. Естественно предположить, что величина µ также является ожидаемой непрерывной начисляемой доходностью акции за относительно долгий период времени. Однако это не так. Непрерывно начисляемая доходность акции за Т лет равна:

Из равенства (14.7) следует, что математическое ожидание E(x) величины х равно µ - σ²/2.

Причина различий между величинами µ в равенстве (14.1) и µ - σ²/2 в равенстве (14.7) является неочевидной, но очень существенной. Рассмотрим очень большое количество очень коротких периодов времени Δt. Обозначим через S_i цену акции в конце i-го интервала, а через ΔS_i – разность S_i+1 – S_i. При сделанных предположениях средняя доходность акции на каждом интервале времени близка к величине µ. Иначе говоря, значение µ близко к арифметическому среднему величин ΔS_i/S_i. Однако ожидаемая доходность на всем промежутке времени, состоящем из интервалов Δt, близка к величине µ - σ²/2 а не к µ[3]. Одна из типичных ситуаций, связанных с расчетами доходности взаимных фондов, приведена во врезке «Пример из деловой практики 14.1». Чтобы разобраться в математических аспектах этого явления, начнем анализ с равенства (14.4).

Логарифмируя это равенство, получим

Соблазнительно положить:

Так чтобы выполнялось равенство или и E(R) = µ. Однако мы не имеем права это делать, поскольку функция ln является нелинейной. На самом деле так что т.е. Е(х) < µ. Как указывалось выше, E(x) = µ - σ²/2.

Дата добавления: 2014-01-04