Свойства функций, непрерывных в точке

♦ Теорема 14.1. 1) Если функции и определены на и непрерывны в точке a, то их алгебраическая сумма (разность) , произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке a.

Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств пределов функций. ■

♦ 2) Если функция непрерывна в точке а и , то существует такая окрестность точки а, в которой .

Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях аргумента в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое приращение функции , так что знак функции в окрестности точки а не изменится. ■

♦ 3) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , и , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Малому приращению аргумента в силу определения 14.3 соответствует как угодно малое приращение , приводящее, в свою очередь, в силу того же определения непрерывности функции к как угодно малому приращению ■

Свойство 3 может быть записано в виде

,

то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

J Пример 14.3. Доказать непрерывность функции .

Найдём . Таким образом, получили, что , следовательно, по определению 14.3 функция является непрерывной на всей числовой оси. J

Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:

1) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 14.5).
	Рис. 14.5.
2) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (см. рис. 14.6).
	Рис. 14.6.
3) Если функция непрерывна на отрезке и значения её на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка такая, что (cм. рис. 14.7).
	Рис. 14.7.

Дата добавления: 2014-01-04