Лекция 16. Качество систем управления

Понятие качества системы управления является достаточно емким и охватывает степень достижения цели управления, степень соответствия процесса в системе определенным требованиям и другие свойства. Полное представление о качестве системы в принципе можно получить на основе анализа закона изменения во времени сигнала ошибки x (t)= g (t)-y (t). Но в общем случае это не удается по следующим причинам:

- сигнал ошибки зависит от задающего воздействия g (t) и возмущающих воздействий, которые могут меняться по разнообразным заранее неизвестным законам;

- для систем высокого порядка сам расчет закона изменения сигнала ошибки является трудоемкой задачей.

Поэтому в теории управления разработана система показателей, или критериев, качества, позволяющих количественно характеризовать качество системы по отдельным ее свойствам, проявляющимся при типовых воздействиях. Критерии качества систем управления классифицируются на четыре группы:

1. Критерии точности, характеризующие величину ошибки системы в различных типовых режимах работы.

2. Критерии запаса устойчивости, позволяющие оценивать степень удаленности системы от границы устойчивости. Здесь прежде всего рассматривается колебательная граница устойчивости как наиболее опасная с точки зрения потери работоспособности системы.

3. Критерии быстродействия, характеризующие скорость реагирования системы на изменения внешних воздействий.

4. Комплексные показатели качества, дающие оценку обобщенных свойств системы и имеющие обычно вид интегралов от переменных состояния системы.

Можно выделить два основных подхода или пути определения показателей качества систем управления:

1. На основе анализа характера развития процесса в системе во времени. В рамках такого подхода анализируются временные характеристики системы или корни характеристического полинома замкнутой системы.

2. На основе анализа частотных свойств системы, проявляющихся в установившихся режимах работы при действии гармонического входного сигнала. В рамках такого подхода анализируются различные частотные характеристики разомкнутой системы.

Оценка качества по временным характеристикам

Определяемые по временных характеристикам показатели качества называют прямыми в силу их наглядности.

По переходной характеристике (рисунок 112) определяют следующие показатели качества:

1. Перерегулирование - показатель запаса устойчивости.

2. Установившаяся ошибка x_уст=g ₀ -y_уст – показатель точности.

3. Время переходного процесса t _п – интервал времени от момента начала переходного процесса до момента, начиная с которого выполняется неравенство . Обычно принимается . Это показатель быстродействия.

4. Количество колебаний за время переходного процесса – показатель запаса устойчивости.

Оценка качества по корням характеристического полинома

Как известно, корни характеристического полинома замкнутой системы

в значительной степени определяют переходный процесс в системе. Например, при наличии двух вещественных , и пары комплексно сопряженных корней (рисунок 113) переходная составляющая процесса описывается выражением

. (16.1)

По корням характеристического полинома определяют следующие показатели качества:

1. Степень устойчивости - показатель быстродействия. Составляющая выражения (16.1), соответствующая ближайшему к границе устойчивости корню, будет стремиться к нулю медленнее остальных. Следовательно, именно она будет определять скорость затухания переходного процесса. По величине степени устойчивости можно приближенно оценивать время переходного процесса.

Пусть степень устойчивости соответствует вещественному корню (рисунок 113). Тогда для соответствующего слагаемого в (16.1) при t= 0 можно записать , а при t=t _п: . Приняв в соответствии с рассмотренным выше правилом , где , получим:

,

,

.

При получим .

Отметим, что если степень устойчивости будет соответствовать паре комплексно сопряженных корней, то при той же величине d будет иметь место .

2. Колебательность характеризует склонность системы к колебаниям, то есть запас устойчивости. Покажем это на примере третьего слагаемого из (16.1), сравнив его значения, разделенные интервалом времени, равным периоду колебаний , введя для определяющей колебательность пары корней обозначения , :

,

=

,

.

Последнее соотношение показывает соотношение амплитуд колебаний через период. Нетрудно убедиться, что чем больше значение m, тем ближе эта величина к единице, то есть тем медленнее затухают колебания в переходном процессе и тем ближе система к колебательной границе устойчивости.

3. Затухание за период – показатель запаса устойчивости, связанный с колебательностью и показывающий степень снижения амплитуды колебаний за период: , где , . После подстановки получим:

.

Например, соответствует , соответствует .

Оценка качества по частотным характеристикам

Здесь, как правило, используется принцип, положенный в основу критерия устойчивости Найквиста: анализ устойчивости и качества замкнутой системы выполняется с использованием частотных характеристик разомкнутой системы.

1-2. Запасы устойчивости по амплитуде L_a и по фазе m_j - порядок их определения по АФХ или логарифмическим характеристикам разомкнутой системы рассмотрен в лекции 14.

3. Амплитуда сигнала ошибки в установившемся процессе при гармоническом входном сигнале – показатель точности системы. Ее определение основано на использовании передаточной функции замкнутой системы по ошибке:

,

определяемой по передаточной функции разомкнутой системы W (s).

После подстановки s=j w и перехода к модулям получим связь между амплитудами гармонического входного сигнала и сигнала ошибки :

.

Как правило, на частоте задающего воздействия имеет место: . Поэтому для оценки точности систем используется приближенное соотношение:

.

4. Показатель колебательности

, (16.2)

где - амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы (рисунок 114), причем для астатических систем имеет место , для статических, как правило, .

Показатель колебательности также может определяться по АФХ или логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. На комплексной плоскости для АФХ конкретному значению M соответствует окружность (рисунок 115).

Действительно, с учетом (16.2) и известных соотношений и W (j w)= U (w)+ jV (w) можем составить уравнение:

,

которое приводится к уравнению окружности:

,

,

,

,

.

Таким образом, на рисунке 115 центр окружности имеет горизонтальную координату , радиус окружности . С учетом M> 1 также ясно, что увеличению M соответствует уменьшение радиуса окружности и снижение запаса устойчивости. Запас устойчивости величиной M будет иметь система, АФХ которой лежит за пределами соответствующей окружности, касаясь ее.

Дата добавления: 2014-01-04