Поле, определение, простейшие свойства

В любом кольце выполняется операция вычитания – обратная операции сложения:

О выполнении операции деления – обратной операции умножения, в определении кольца не говорится ничего. Можно показать, что по отношению к операции деления различные кольца обладают различными свойствами. Например, в кольце четных чисел деление одного числа на другое выполняется только в исключительных случаях; в этом кольце нет ни одного элемента, на который делились бы все его элементы.

В кольце целых чисел деление одного числа на другое выполняется также в исключительных случаях, но все элементы этого кольца делятся на 1 и –1. В кольце рациональных чисел операция деления выполняется всегда, кроме деления на нуль.

Замечание. Деление на нуль невозможно ни в каком кольце: разделить элемент на 0 – это значит найти в кольце такой элемент , что , но при это невозможно, так как для любого элемента в кольце : .

В высшей алгебре в частности и в математике в целом особую роль играют коммутативные кольца, в которых выполняется операция деления, кроме деления на нуль. Их называют полями.

Дадим несколько определений поля, отражающих его основные особенности.

Определение 1. Коммутативное кольцо называется полем и обозначается , если в нем содержится, по крайней мере один, элемент, отличный от нуля, и если в нем выполняется операция деления, кроме деления на нуль, т.е. для любых его элементов и , из которых , в нем содержится, и притом только один, такой элемент , что :

(3)

Элемент называется частным элементов и и записывается в виде дроби .

Определение 2. Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения:

– мультипликативная группа поля.

Определение 3. Поле – это коммутативное кольцо с единицей не равной нулю, в котором каждый отличный от нуля элемент обратим:

Как следует из определений, поле представляет собой гибрид двух групп – аддитивной абелевой группы и мультипликативной , связанных законом дистрибутивности (теперь уже одним, ввиду коммутативности).

Замечание. Требования, входящие в определение поля называются аксиомами поля.

Определение. Поля элементами которых являются числа, называются числовыми полями.

Примеры полей.

1. Кольцо рациональных чисел является полем.

2. Кольцо действительных чисел также является полем.

3. Кольцо чисел вида , где , является полем.

4. Кольцо комплексных чисел является полем.

Все рассмотренные примеры являются числовыми полями. Примеры нечисловых полей будут рассмотрены ниже.

Дата добавления: 2014-01-04