Интерполяционные формулы Ньютона

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Пусть функция у = f (x) задана на сетке равноотстоящих узлов x_i = x ₀ +ih, где i = 0,1, ..., п, и для нее построена таблица конечных разностей § 16.3.

В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Р_п (х) в форме

Р_n (х) = а ₀ +а ₁(х-х₀) + а ₂(х-х ₀)(х-х ₁) +... + а_n (х-х ₀)(х-х ₁) … (х-х_{n- 1}). (17.1)

Его п+ 1 коэффициент а ₀, а ₁,..., а_n будем находить последовательно из п +1 интерполяционных равенств

Р_n (х_i) =y_i, i = 0,1, ..., п.

А именно, полагая i = 0, т.е. х = х₀, в (1.23) имеем Р_n (х₀) = а ₀, следовательно, а ₀ = у ₀.

Далее, при i = 1 аналогично получаем равенство

а ₀ +а ₁(х- х₀)= y ₁,

в которое подставляем уже найденное значение а ₀ = у ₀. Разрешая это равенство относительно а ₁ и используя обозначение конечной разности, получаем

Полной индукцией можно показать справедливость выражения

Подставляя найденные коэффициенты а ₀, а ₁, ..., а_n в (17.1), получаем многочлен

(17.2)

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (17.2), начиная со второго, содержит множитель х- х ₀, естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла х ₀. Будем называть узел х ₀ базовым для многочлена (17.2) и упростим (17.2) введением новой переменной q райенством или (что то же) равенством x = x ₀ +qh. Так как

x - x_i = x ₀ + qh - x ₀- ih= h (q- i),

то в результате подстановки этих разностей в (17.2) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

(17.3)

где обозначение Р _n (x ₀ + qh) указывает не только на n -ю степень многочлена, но и на базовый узел x ₀ и связь переменных х и q.

Первая формула Ньютона (17.3) обычно применяется при значениях | q | < 1, а именно, для интерполирования вперед (при х Î (х ₀, x ₁), т.е. при q Î (0, 1)) и экстраполирования назад (при х < х ₀ т.е. при q < 0).

Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов — номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17.3) узел х ₀ можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке х, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.

Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17.3) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (17.1), форма интерполяционного многочлена Р_n (х) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.

Р (х) = а ₀ +а ₁(х-х_n) + а ₂(х-х_n)(х-х_{n- 1}) +... + а_n (х-х_n)(х-х_{n- 1})…(х-х ₁).

Коэффициенты а ₀, а ₁, ..., а_n этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (17.1), только здесь подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

(17.4)

в котором базовым является узел х_n и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от у_n диагонали.

Положим в (17.4) x = x_n+qh, иначе, введем новую перемен и преобразуем к ней входящие в (17.4) разности:

x - x_i = x_n + qh - x ₀- ih= x ₀ + nh + qh - x ₀- ih= h (q+n- i)

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

(17.5)

Ее также целесообразно использовать при значениях | q | < 1, т.е. в окрестности узла х_п для интерполирования назад (при q Î (-1, 0)) и экстраполирования вперед (при q > О).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы и потому называемых центральными интерполяционными формулами. Прежде, чем определять эти формулы, введем понятие центральных разностей.

Будем считать, что узел x ₀ расположен в середине таблицы, и нумерация остальных узлов производится, начинаясь с х ₀, с использованием как положительных, так и отрицательных индексов, т.е. считаем x_i = x ₀ +ih, где i = 0, ±1, ±2,.... Тогда центральная часть таблицы конечных разностей будет проиндексирована так, как это показано в табл. 1.7. Все подчеркнутые в ней конечные разности (находящиеся с XQ,y_Q в одной строке и на полстроки выше и ниже) называются центральными разностями.

x _-3 y _-3 D y _-3

x _-2 y _-3 D y _-2 D² y _-3 D³ y _-3

x _-1 y _-1 D y _-1 D² y _-2 D³ y _-2 D⁴ y _-3 D⁵ y _-3

x ₀ y ₀ D y ₀D² y _-1D³ y _-1D⁴ y _-2D⁵ y _-2D⁶ y _-3

x ₁ y ₁ D y ₁ D² y ₀ D³ y ₀ D⁴ y _-1

x ₂ y ₂ D y ₂ D² y ₁

x ₃ y ₃

Интерполяционный многочлен ищем в форме

Р (х) = а ₀ +а ₁(х-х ₀) + а ₂(х-х ₀)(х-х ₁) + а ₃(х-х_{- 1}) (х-х ₀)(х-х ₁) +

+а ₄(х-х_{- 1}) (х-х ₀)(х-х ₁)(х-х ₂)+….

Коэффициенты ищем, как и прежде. Введя новую переменную и выразив через нее разности x - x_i = h (q- i) для всех i = 0, ±1, ±2,..., в результате подстановки этих разностей и выражений коэффициентов после преобразований приводит к формуле

называемой интерполяционной формулой Стирлинга.

Рассмотрим вопрос о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечноразностной интерполяции.

Известно, что все построенные здесь конечноразностные интерполяционные многочлены Ньютона и Стирлинга - это всего лишь различные формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена (16.7).

Для первого интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.3) погрешность может быть записана следующим образом

Для второго интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.5) погрешность может быть записана следующим образом

Дата добавления: 2014-01-04