Метод интегрирования по частям

Лекция № 4, ВА-1, матан, 2 семестр

Тема. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Типы интегралов, берущихся по частям.

Выведем формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Докажем утверждение.

Теорема 1.1. Если функции и – непрерывно дифференцируемые функции переменной x, то справедливо тождество:

Доказательство. Найдем дифференциал произведения двух функций

но поэтому последнее равенство можно представить в виде:

.

Это уравнение разрешим относительно члена

.

Проинтегрируем последнего равенство, получим:

.

В соответствии со свойством 3⁰ неопределенных интегралов произведем замену первого слагаемого правой части по формуле: и окончательно будем иметь:

(1.1)

Что и требовалось доказать. Формула (1.1) – формула интегрирования по частям.

Проиллюстрируем применение полученной формулы для вычисления интеграла.

Задача 1.1. .

Решение. Применим формулу (1.1).

.

Формула (1.1) носит называние формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования, основанный на применении этой формулы, называется методом интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

При использовании этого метода фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя (две «части») u и , причем обязательно содержит . При переходе к правой части формулы (1.1) первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется . Заметим, что постоянную , возникающую при нахождении v, можно считать равной нулю: , так как в качестве v можно брать любую из первообразных подынтегральной функции.

Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда нахождение функции v по её дифференциалу и нахождение представляют в совокупности более простую задачу, чем нахождение исходного интеграла .

Дата добавления: 2014-01-04